Question

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(x+4)^n}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x+4)^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{5n+1}}=1\\ \Rightarrow R=1$

А значит интервал сходимости $x\in(-5;-3)$

Исследуем на концах:

$x=-3\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-3+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{5}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$ расходится, как гармонический - а тогда, согласно предельному признаку сравнения, $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ также расходится

$x=-5\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-5+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$

1) $c_n0$

2) $\left(\dfrac{1}{5n+1}\right)'=-\dfrac{5}{(5n+1)^2}$ , а значит $\{c_n\}$ монотонно убывает

3) $\lim\limits_{n\to\infty} c_n=0$

А тогда, по признаку Лейбница, $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$ сходится

А значит ряд сходится на $[-5;-3)$