Question

7ctg² x/2 + 2ctg x/2 =5
распишите

Answer 1

Давайте разберем данный вопрос поэтапно.

Итак, у нас есть уравнение:
7ctg²( x/2) + 2ctg( x/2) = 5

Первым делом, давайте заменим функцию котангенса на синус и косинус:
7(sin( x/2) / cos( x/2))² + 2(sin( x/2) / cos( x/2)) = 5

Теперь возведем котангенс в квадрат и раскроем скобки:
7(sin²( x/2) / cos²( x/2)) + 2(sin( x/2) / cos( x/2)) = 5

Теперь умножим обе части уравнения на cos²( x/2) для того, чтобы избавиться от знаменателя:
7sin²( x/2) + 2sin( x/2)cos( x/2) = 5cos²( x/2)

Далее, воспользуемся формулами тригонометрии для упрощения данного уравнения.
Формула синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sinθcosθ

Применяя эту формулу для второго слагаемого, мы получаем:
7sin²( x/2) + sin( x) = 5cos²( x/2)

Заметим, что sin²( x/2) + cos²( x/2) = 1, поэтому заменим 7sin²( x/2) на 7(1 - cos²( x/2)):
7(1 - cos²( x/2)) + sin( x) = 5cos²( x/2)

Теперь приведем подобные слагаемые:
7 - 7cos²( x/2) + sin( x) = 5cos²( x/2)

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:
7 - 7cos²( x/2) - 5cos²( x/2) = -sin( x)

Складываем коэффициенты при cos²( x/2):
7 - 12cos²( x/2) = -sin( x)

Теперь заменим функцию синуса на квадрат синуса деленный на квадрат косинуса:
7 - 12(1 - sin²( x/2)) = -sin( x)

Раскроем скобки:
7 - 12 + 12sin²( x/2) = -sin( x)

Упростим:
-5 + 12sin²( x/2) = -sin( x)

Перенесем все слагаемые в левую часть:
12sin²( x/2) + sin( x) - 5 = 0

Видим, что наше уравнение стало квадратным. Пусть sin( x/2) = t, тогда мы можем переписать уравнение в следующем виде:
12t² + t - 5 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
D = b² - 4ac = 1² - 4*12*(-5) = 1 + 240 = 241

Так как дискриминант положительный, у нас будет два действительных корня:
t₁ = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (1 + sqrt(241)) / 24
t₂ = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (1 - sqrt(241)) / 24

Заменим обратно t на sin( x/2):
sin( x/2) = (1 + sqrt(241)) / 24
sin( x/2) = (1 - sqrt(241)) / 24

Далее, для определения x возьмем обратный синус:
x/2 = arcsin((1 + sqrt(241)) / 24)
x/2 = arcsin((1 - sqrt(241)) / 24)

Теперь умножим обе части на 2:
x = 2 * arcsin((1 + sqrt(241)) / 24)
x = 2 * arcsin((1 - sqrt(241)) / 24)

Таким образом, мы получили два возможных значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.