Question

Вычислить тангенс угла наклона между кривыми в точке их пересечения. y=x^2-2 и y=-x^2+6

Answer 1

$y_1 = x^2 -2, \ y_2 = -x^2+6$

Найдём точки пересечения:

$x^2-2 = -x^2+6\\ 2x^2 = 8\\ x^2 = 4\\ x = -2, x = 2$

Так как графики функций симметричны относительно оси Оу, то тангенс угла наклона между кривыми в первой точке, совпадет с тангенсом угла наклона между кривыми во второй и имеет смысл рассматривать только одну точку. Пусть это будет точка с абсциссой x = 2.

$y_1' = 2x, \ y_1(2) = 2, \ y_1'(2) = 4\\\\ y_2' = -2x, \ y_2(2) = 2, \ y_2'(2) = -4$

Найдём касательные по формуле $y = f'(x)(x-x_0) + f(x_0)$

$y_1 = 4(x-2) + 2 = 4x - 6\\\\ y_2 = -4(x-2) + 2 = -4x + 10$

Тангенс угла между касательными:

$tg(\alpha)= |\frac{4-(-4)}{1+(-4)*4}}| = |-\frac{8}{15}| = \frac{8}{15}$