A) Определите, имеют ли решения следующие тригонометрические уравнения: 1) cos x = 3 2) cos x =1. Поясните ответ и найдите решение, если оно существует. b) Решите уравнение 4sin²2x+8sinx= 8√3sin60° на отрезке {-2 pi; pi}
A) Для определения, имеют ли уравнения решения, сначала рассмотрим диапазон значений для функций cos x. Функция cos x принимает значения в диапазоне от -1 до 1.
1) Уравнение cos x = 3 невозможно, так как cos x не может превышать значение 1.
2) Уравнение cos x = 1 имеет решение. Так как cos x = 1, это означает, что угол x равен 0. Таким образом, решением уравнения является x = 0.
b) Для решения уравнения 4sin²2x+8sinx= 8√3sin60° на отрезке {-2 pi; pi}, мы будем использовать несколько шагов.
Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду. Мы заменим sin60° на 1/2 и упростим уравнение:
4sin²2x + 8sinx = 8√3(1/2)
4sin²2x + 8sinx = 4√3
Шаг 2: Раскроем квадрат на sin²2x, используя тригонометрическую формулу:
(2sinx cosx)² + 8sinx = 4√3
4sin²x cos²x + 8sinx = 4√3
Шаг 3: Заменим cos²x, используя тригонометрическую формулу cos²x = 1 - sin²x:
4sin²x (1 - sin²x) + 8sinx = 4√3
4sin²x - 4sin⁴x + 8sinx - 4√3 = 0
Шаг 4: Объединим подобные члены и приведем уравнение к квадратному виду:
-4sin⁴x + 4sin²x + 8sinx - 4√3 = 0
Шаг 5: Решение квадратного уравнения можно получить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Применим метод квадратного трехчлена:
(2sin²x + 2√3)(-2sin²x + 2√3 - 1) = 0
Шаг 6: Разделим уравнение на (-2sin²x + 2√3):
2sin²x + 2√3 = 0 или -2sin²x + 2√3 - 1 = 0
Шаг 7: Решим каждое уравнение отдельно:
2sin²x = -2√3 или sin²x = (√3 + 1)/2
Шаг 8: В первом уравнении sin²x получается отрицательным числом, что невозможно. Ответом на это уравнение является пустое множество.
Шаг 9: Во втором уравнении возьмем квадратный корень от обоих частей:
sin x = ±√[(√3 + 1)/2]
Шаг 10: Найдем значения sin x на интервале {-2 pi; pi}. Нам нужно найти значения, при которых sin x равен ±√[(√3 + 1)/2]. Так как sin x принимает значения от -1 до 1, сначала найдем значения, находящиеся в этом интервале.
Мы используем тригонометрическую формулу sin x = ±√[(√3 + 1)/2] и найдем соответствующие значения угла x.
Таким образом, ответ на уравнение 4sin²2x+8sinx= 8√3sin60° на отрезке {-2 pi; pi} будет зависеть от найденных значений sin x и будет состоять из углов x, для которых sin x равен ±√[(√3 + 1)/2].
