1) Для решения данного неравенства, сначала найдем корни квадратного уравнения, которое получается из неравенства при замене знака ">" на "=", то есть решим уравнение х²+4х – 21 = 0.
Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac,
где a, b и c - это коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
Теперь построим знаки на оси чисел, используя найденные корни:
-∞ <--[--7--]--[3]--> +∞.
Между корнями значения неравенства положительны, так как все числа между -7 и 3 удовлетворяют данному неравенству. Значит, решением неравенства будет интервал (-7, 3).
D < 0, значит у уравнения нет действительных корней. Значит, квадратное уравнение не имеет решений, и неравенство х² - 6х + 11 > 0 не выполняется ни для каких значений х.
3) Теперь решим неравенство x² > 81.
Выразим нуль на одной стороне:
x² - 81 > 0.
Теперь можем решить этот квадратный трехчлен как разность квадратов:
(x - 9)(x + 9) > 0.
Когда произведение двух чисел больше нуля (с одинаковыми знаками), то оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными. Таким образом, нам нужно рассмотреть два случая:
1) (x - 9) > 0 и (x + 9) > 0:
x > 9 и x > -9.
То есть, x > 9.
2) (x - 9) < 0 и (x + 9) < 0:
x < 9 и x < -9.
То есть, x < -9.
Таким образом, решением неравенства x² > 81 является объединение интервала (-∞, -9) и интервала (9, +∞).
Уравнение не выполняется ни для каких значений х. Значит, решением данного неравенства является пустое множество (фраза "неравенство не имеет решений").
Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac,
где a, b и c - это коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
В нашем случае:
a = 1, b = 4, c = -21.
Вычисляем дискриминант:
D = 4² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100.
D > 0, значит у уравнения два различных корня:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √100) / (2 * 1) = (-4 + 10) / 2 = 6 / 2 = 3,
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √100) / (2 * 1) = (-4 - 10) / 2 = -14 / 2 = -7.
Теперь построим знаки на оси чисел, используя найденные корни:
-∞ <--[--7--]--[3]--> +∞.
Между корнями значения неравенства положительны, так как все числа между -7 и 3 удовлетворяют данному неравенству. Значит, решением неравенства будет интервал (-7, 3).
2) Аналогично первому неравенству, найдем корни квадратного уравнения х² - 6х + 11 = 0.
Здесь a = 1, b = -6, c = 11.
Вычисляем дискриминант:
D = (-6)² - 4 * 1 * 11 = 36 - 44 = -8.
D < 0, значит у уравнения нет действительных корней. Значит, квадратное уравнение не имеет решений, и неравенство х² - 6х + 11 > 0 не выполняется ни для каких значений х.
3) Теперь решим неравенство x² > 81.
Выразим нуль на одной стороне:
x² - 81 > 0.
Теперь можем решить этот квадратный трехчлен как разность квадратов:
(x - 9)(x + 9) > 0.
Когда произведение двух чисел больше нуля (с одинаковыми знаками), то оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными. Таким образом, нам нужно рассмотреть два случая:
1) (x - 9) > 0 и (x + 9) > 0:
x > 9 и x > -9.
То есть, x > 9.
2) (x - 9) < 0 и (x + 9) < 0:
x < 9 и x < -9.
То есть, x < -9.
Таким образом, решением неравенства x² > 81 является объединение интервала (-∞, -9) и интервала (9, +∞).
4) Решим неравенство x² - 14х + 49 > 0.
Здесь a = 1, b = -14, c = 49.
Вычисляем дискриминант:
D = (-14)² - 4 * 1 * 49 = 196 - 196 = 0.
D = 0, значит у уравнения один корень:
x = -(-14) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7.
Подставим найденный корень в исходное неравенство:
7² - 14 * 7 + 49 > 0,
49 - 98 + 49 > 0,
0 > 0.
Уравнение не выполняется ни для каких значений х. Значит, решением данного неравенства является пустое множество (фраза "неравенство не имеет решений").