Question

Тригонометрическое уравнение с отбором корней

Answer 1

$1 + \cos( \frac{7\pi}{2} + x) (3tg( \frac{\pi}{2} + x) + 2 \sin(x) ) = 4 \\ 1 + \sin(x) ( - 3ctgx + 2 \sin(x) ) - 4 = 0 \\ 1 - 3 \cos(x) + 2 { \sin }^{2} x - 4 = 0 \\ 2 - 2 { \cos }^{2} x - 3 \cos(x) - 3 = 0 \\ 2 { \cos }^{2} x + 3 \cos(x) + 1 = 0 \\ \\ \cos(x) = t \\ \\ 2 {t}^{2} + 3t + 1 = 0 \\ D= 9 - 8 = 1 \\ t1 = \frac{ - 3 + 1}{4} = - \frac{1}{2} \\ t2 = - 1 \\ \\ \cos(x) = - \frac{1}{2} \\ x1 = \frac{2\pi}{3} + 2 \pi \: n \\ x2 = - \frac{2\pi}{3} + 2 \pi \: n \\ \\ \cos(x) = - 1 \\ x3 = \pi+ 2\pi \: n$

на промежутке:

$x1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ \\ - \frac{3\pi}{2} \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \leqslant \frac{3\pi}{2} \\ - 9 \leqslant 4 + 12n \leqslant 9 \\ - 13 \leqslant 12n \leqslant 5 \\ - 1 \frac{1}{12} \leqslant n \leqslant \frac{5}{12} \\ n1 = - 1 \\ n2 = 0 \\ x1 = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = - \frac{4\pi}{3} \\ x2 = \frac{2\pi}{3} \\ \\ x2 = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ - \frac{3\pi}{2} \leqslant - \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \leqslant \frac{3\pi}{2} \\ - 9 \leqslant - 4 + 12n \leqslant 9 \\ - 5 \leqslant 12n \leqslant 13 \\ - \frac{5}{12} \leqslant n \leqslant 1 \frac{1}{12} \\ n3 = 0 \\ n4 = 1 \\ x3 = - \frac{2\pi}{3} \\ x4 = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \\ \\ x3 = \pi + \pi \: n \\ - \frac{3\pi}{2} \leqslant \pi+ 2 \pi \: n\leqslant \frac{3\pi}{2} \\ - \frac{3}{2} \leqslant 1 + 2n \leqslant \frac{3}{2} \\ - \frac{5}{2} \leqslant 2n \leqslant \frac{1}{2} \\ - \frac{5}{4} \leqslant n \leqslant \frac{1}{4} \\ n5 = - 1 \\ n6 = 0 \\ x5 = - \pi \\ x6 = \pi$

$a)x1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x2 = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x3 = \pi + 2\pi \: n \\ \\ b) - \frac{4\pi}{3} ; - \pi ;- \frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \pi;\frac{4\pi}{3}$

n принадлежит Z.