Каждая сторона вписанного треугольника соединяет середины сторон исходного и поэтому является средней линией. Средняя линия треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.
Коэффициент k подобия этих треугольников ½
.Отсюда каждая сторона первого вписанного треугольника равна 8·½ =4 см
.Пусть периметр исходного треугольника будет Р₁,
периметр первого вписанного треугольника- р₂
Тогда Р₁=8·24 см
р₂=24·½ =12 cм
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия.
р₃=12·½=6 см
р₄=6·½=3 см
р₅=3·½=1,5 см
р₆=1,5·½=0,75 см
р₇=0,75·½=0,375 см
р₈=0,375·½=0,1875 см
Как Вы, наверное, обратили внимание, последовательность периметров сторон вписанных треугольников - геометрическая прогрессия, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ½.
Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой
bn = b₁ · qⁿ⁻¹
b₈=24·(½)⁷=0,1875 см
I. 1) 5³ + 2⁴ = 125 + 16 = 141
2) (-7)² - (-2)² = 49 - 4 = 45
3) 6 * (-5/6)² = 6 * 25/36 ≈ 4,16
II. 1) m⁴ * m⁶ = m¹⁰
2) x * x⁷ = x⁸
3) a² * a¹⁶ = a¹⁸
4) a⁶ * a⁶ = a¹²
5) y * y⁹ * y⁴ = y¹⁴
6) c³ * c² * c⁸ = c¹³
7) (m + 2n)¹⁰ * (m + 2n) = (m + 2n)¹¹
8) z⁵ * z² * z * z¹¹ = z¹⁹
III. 1) a¹⁵ : a⁴ = a¹¹
2) c⁹ : c = c⁸
3) b⁸ : b⁸ = 1
4) (a - b)¹² : (a - b)⁶ = (a - b)⁶
IV. 1) a⁵ * a¹⁴ = a¹⁹
2) a⁴ * a * a² = a⁷
3) a⁹ : a⁴ = a⁵
4) a⁴² : a¹⁰ = a³²
5) a¹⁴ : a¹² * a⁹ = a¹¹
6) a¹⁸ * a⁷ : a²³ = a²
V. 1) 3⁴ * 3⁵ = 3⁹ = 19683
2) 2⁵ * 2² = 2⁷ = 128
3) 5¹¹ * 5⁷ : 5¹⁵ = 5³ = 125
4) 29¹⁰ * 29⁶ : 29¹⁴ = 29² = 841