Question

Вычислить определенные интегралы. а)Используя основные свойства и формулы
б )методом подстановки
с)методом интегрированием по частям
​

Answer 1

$\int\limits^4_1\, \dfrac{3+\sqrt{x^2}-2x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx=\Big[\ \sqrt{x^2}=|x|=x\ ,\ 1\leq x\leq 4\ \Big]=\int\limits^4_1\, \dfrac{3+x-2x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx=\\\\\\=3\int\limits^4_1\, \dfrac{dx}{\sqrt{4-x^2}}-\int\limits^4_1\, \dfrac{x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=3\cdot arcsin\dfrac{x}{2}\ \Big|_1^4+\dfrac{1}{2}\int\limits^4_1\, \dfrac{-2x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=\\\\\\=3\cdot (arcsin2-arcsin\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{4-x^2}\ \Big|_1^4=\ ?$

Вычислить определённый интеграл невозможно, так как не существует  arcsin2  $(\ y=arcsinx\ ,\ -1\leq x\leq 1\ )$  

$2)\ \ \int\limits^{\pi /4}_0\, x\cdot sin2x\, dx=\Big[u=x\ ,\ du=dx\ ,\ dv=sin2x\, dx\ ,\ v=-\dfrac{1}{2}\, cos2x\ \Big]=\\\\\\=-\dfrac{1}{2}\, x\, cos2x\Big|_0^{\pi /4}+\dfrac{1}{2}\int\limits^{\pi /4}_0\, cos2x\, dx=-\dfrac{1}{2}\cdot 0+\dfrac{1}{4}\cdot sin2x\Big|_0^{\pi /4}=\dfrac{1}{4}\cdot (1-0)=\dfrac{1}{4}$