Question

Дайте чёткое и понятное определение предела. решать простенькие пределы я уже научился, а вот, что это такое так и не понял.

Answer 1

Число А называется пределом функции y=f(x) при х стремящемся к а, если для любого е>0 найдётся такое δ=δ(е)>0, что для всех х , удовлетворяющих условию  0< |x-a|<δ  ( то есть для х из δ-окрестности числа а ) выполняется неравенство  |f(x)-A|<e  ( то есть функция f(x) попадает в е-окрестность числа А ).

Причём сама ф-ция может быть не определена в самой точке х=а, но определена в окрестности этой точки.

   Определение понимать  можно так. Как только переменная х принимает значения, близкие к числу а (х-->a), то функция принимает значения, близкие к числу А ( f(x)-->A ).

Напримеp, $lim_{x\to\ 2}(x+1)=3$.

Возьмём значения переменной х ,близкие к числу 2.

Пусть х=1,9 , тогда вычислим значение ф-ции   у(1,9)=х+1=1,9+1=2,9≈3

            х=1,99   ⇒    у(1,99)=2,99≈3

            х=1,999  ⇒  у(1,999)=2,999≈3

         ..........................................................

            х=2,1      ⇒   у(2,1)=2,1+1=3,1≈3

            х=2,01    ⇒   у(2,01)=3,01≈3

           х=2,001   ⇒  у(2,001)=3,001≈3

Как видно ,при стремлении переменной к числу 2 справа (  числа больше 2) или слева (числа меньше 2) значения ф-ции у=х+1 всё ближе и ближе подходят к числу 3.

   -------------------------(2)-------------------------

       слева ----->                       <------ справа

В этом примере х=2 входит в область определения ф-ции, поэтому можно подсчитать значение ф-ции при х=2.Это будет у(2)=2+1=3. 

Можно рассмотреть случаи, когда х--->∞.Но там всё аналогично.При удалении переменной х от начала координат, функция начинает принимать значения, близкие к А.Например$lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$,

Представьте график гиперболы у=1/х.Как только переменная удаляется по оси ОХ вправо или влево, то график ф-ции приближается к самой оси ОХ .А ось ОХ - это прямая, уравнение которой у=0. Предельное значение ф-ции - ноль, хотя сама ф-ция никогда не может достигнуть значения 0.

 Можно разбирать ещё много различных случаев вычисления предела ф-ции.Может, немного  стало яснее, что это такое?