Question

Cos(x-1)=cosx решить уравнение

Answer 1

$cos(x-1)=cos(x)\\cos(x-1)-cos(x)=0$

Воспользуемся формулой разности косинусов:

$cos(\alpha)-cos(\alpha) = -2sin\frac{\alpha -\beta }{2} sin\frac{\alpha +\beta }{2}$

Имеем:

$-2sin(\frac{x-1-x}{2} )sin(\frac{x-1+x}{2} )= 0\\\\ -2sin(-\frac{1}{2})sin(\frac{2x-1}{2}) = 0\\\\ 2sin(\frac{1}{2})sin(\frac{2x-1}{2}) = 0\\\\$

Поделим обе части на $2sin(\frac{1}{2} )$:

$sin(\frac{2x-1}{2} ) = 0$

Воспользуемся формулой: $sin(x) = 0=x = \pi n$, n ∈ Z

$\frac{2x-1}{2} = \pi n\\\\$, n ∈ Z

$2x-1=2\pi n\\\\$, n ∈ Z

$x = \frac{2\pi n+1}{2}$, n ∈ Z

$x = \pi n + \frac{1}{2}$, n ∈ Z