Question

Відомо, що три натуральні числа є послідовними членами геометричної прогресії. Третє дорівнює 12, і якщо узяти (-36) замість 12, то ці три числа будуть послідовними
членами арифметичної прогресії. Знайдіть суму цифр першого числа.
​

Answer 1

Відповідь:

9

Пояснення:

Нехай перше та друге числа — x та y відповідно. Отже, числа x, y і 12 утворюють геометричну прогресію, а числа x, y і -36 — арифметичну.

Скористаємося основними властивостями цих прогресій. Квадрат кожного члена геометричної дорівнює добутку сусідніх. Зокрема для члена y,

$y^2=12x \; (*)$

Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх. Зокрема для того ж члена y,

$y=\frac{x-36}{2}$.

Звідси $y^2=\frac{(x-36)^2}{4} \; (**)$.

Ліві частини рівнянь (*) і (**) збігаються, тому прирівняємо праві та знайдемо x:

$12x=\frac{(x-36)^2}{4}\\48x=(x-36)^2\\48x=x^2-72x+1296\\x^2-120x+1296=0\\D_1=k^2-ac=(-60)^2-1296=3600-1296=2304\\x=\frac{-k\pm \sqrt{D_1}}{a}\\\begin{cases} x_1=\frac{60+\sqrt{2304} }{1}=60+48=108\\x_2=\frac{60-\sqrt{2304} }{1}=60-48=12 \end{cases}$

Якщо перше з розглядуваних чисел — 12, то друге дорівнює $\frac{12-36}{4}=-12$. Воно не натуральне й не задовольняє умові. Якщо ж x=108, то $y=\frac{108-36}{2}=36$, що цілком відповідає умові задачі.

Тоді сума цифр першого числа 1+0+8=9.