Question

Корень из 2 sin(pi/4-2x)+корень из 2 sinx=-sin2x-1 xэ(-pi/-7pi/2)

Answer 1

Добрый день! Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Данное уравнение содержит корни и синусы. Начнем с упрощения выражения, используя тригонометрические тождества.

Упростим sin(pi/4 - 2x):

sin(pi/4 - 2x) = sin(pi/4) * cos(2x) - cos(pi/4) * sin(2x) = 1/sqrt(2) * (cos^2(x) - sin^2(x)) - 1/sqrt(2) * (2*sin(x)*cos(x))
= 1/sqrt(2) * (cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x))

Таким же образом упростим sin(x):

sin(x) = cos(pi/2 - x) = cos(pi/2) * cos(x) + sin(pi/2) * sin(x) = 0 * cos(x) + 1 * sin(x) = sin(x)

2. Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное уравнение и приведем его к более простому виду:

sqrt(2)*[1/sqrt(2) * (cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x))] + sqrt(2)*sin(x) = -sin(2x) - 1

cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) + sin(x) = -sin(2x) - 1

Также мы применяем формулу sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x):

cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) + sin(x) = -2*sin(x)*cos(x) - 1

Заменяем cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

1 - sin^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) + sin(x) = -2*sin(x)*cos(x) - 1

2*sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x) + sin(x) + 1 = 0

3. Отфакторизуем данный квадратный трехчлен и найдем его корни:

2*sin(x)*(sin(x) + cos(x)) + (sin(x) + 1) = 0

(sin(x) + 1)(2*sin(x) + 1) = 0

Таким образом, мы получили два возможных значения sin(x):

1) sin(x) + 1 = 0, откуда sin(x) = -1. Это значение равно -pi/2.

2) 2*sin(x) + 1 = 0, откуда sin(x) = -1/2. Это значение равно -pi/6.

4. Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям sin(x):

1) x = -pi/2.