Question

Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 3х+у=0 и х-3у=0 и точка м(5; 0) на его основании. найти периметр и площадь треугольника. решить .

Answer 1

 
Идея решение такая так как прямые $3x+y=0\\ x-3y=0$, то выразим $y$
$y=-3x\\ y=\frac{x}{3}$и сразу бросается в глаза то что эти прямые перпендикулярные , так как $-3*\frac{1}{3}=-1\\ tga*ctga=-1$перпендикулярные
Тогда смотрим рисунок.
  С одной стороны 
 $5^2=x^2+z^2-2xz*cos45\\$
  С другой стороны  
 $5^2=x^2+y^2-2xy*cos45$
 и справедлива теорема Пифагора    
$2x^2=(z+y)^2$
осталось решить эту систему 
$x^2+y^2-xy\sqrt{2}=x^2+z^2-xz\sqrt{2}\\ 2x^2=z^2+2zy+y^2\\ \\ y^2-z^2=\sqrt{2}x(y-z)\\ 2x^2=z^2+2zy+y^2\\ \\ y+z=\sqrt{2}x\\ y=\sqrt{2}x-z\\ x^2+(\sqrt{2}x-z)^2-2x-x*(\sqrt{2}x-z)\sqrt{2}=25\\$

2)  Другая идея решения аналитическая!
 Так как  мы знаем угол между прямыми то есть 45 гр, то можно воспользоваться формулой $tga=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}$
у нас все дано , уточняю эти коэффициенты k1=1/3  и  -3 
тогда  мы можем найти уравнение основания , зная то что она проходит  через точку    (5;0) 
Ставим в формулу и найдем коэффициенты 
$\frac{-3-k}{1-3k}=1\\ k=2$ значит уравнение примет вид 
$0=2*5+b\\ b=-10\\ y=2x-10\\$
теперь найдем точки пересечения с основаниями , для этого приравняем 
$2x-10=\frac{x}{3}\\ 2x-10=-3x\\ \\ A\\ x=2\\ y=-6\\ \\ B\\ x=6\\ y=2$
теперь найдем  длины , каждой стороны по простой формуле 
$L=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\\$ это длина основания 
$L_{1}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$ 
и того периметр равен 
$P=4(\sqrt{10}+\sqrt{5})$
 
теперь высоту найдем она равна 
$H=\sqrt{40-20}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ S=0.5*2\sqrt{5}*4\sqrt{5}=20$

ответ периметр равен  P=4(√5+√10)    S=20