Question

Обозначим через S(n) сумму всех цифр десятичной записи натурального числа n. Вычислите S(1000) + S(1001) + ... + S(2021).

Answer 1

ответ: 14649

Объяснение:

Попробуем вывести формулу, которая вычисляет сумму:

X(n) = S(0) + S(1) +S(2)+...+S(10^n-1) - сумма всех цифр в числах до последнего n- значного числа.

Определим количество цифр 1-9, что попадутся в числах от 1 до 10^n -1.

Для удобства будем вести запись таких чисел с нулями в начале:

000...0, 000...1, 000..2,..., 000...10,..., 999...9

Число цифр в каждом числе равно n, то есть общее количество цифр равно: n*10^n, но поскольку ясно, что при такой форме записи чисел количества цифр 0-9 будут одинаковыми, то количество цифр 0-9 равно:

n*10^n/10 = n*10^(n-1)

Иначе говоря, любая из цифр 1-9 будет встречаться ровно n*10^(n-1) раз в числах от 1 до 10^n-1 (при стандартной записи чисел)

Сумма всех 10 цифр равна: 0+1+2+3+...+9 = 9*10/2 = 45

Тогда с учетом повторяемости каждой цифры имеем:

X(n) =  45n*10^(n-1)

Откуда:

S(1000) + S(1001) + ... + S(1999) = 1*1000 + S(0) + S(1) + S(2) +...+S(999) =

= 1000 + X(3) = 1000 + 45 * 300 = 1000 + 13500 = 14500

S(2000) + S(2001) +...+S(2021) = 2 * 22  + S(0) + S(1) + S(2) +...+S(19) + (S(20) +S(21) ) =2*22 + (S(0) + S(1)+...+S(9) ) + (S(10) + S(11) +...S(19) )  + 5 =

= 2*22 + 2*45 + 10*1 + 5 = 44 + 90 + 15 = 149

Тогда:

S(1000) + S(1001) + ... + S(2021) = 14500 + 149 = 14649