1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?
2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3
Участник Знаний
1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.
\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2
Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.
2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}
Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14
\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\
\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}
Объяснение:
Пространство исходов упорядоченные пары чисел от 1 до 6, например:
(1;6); (2;3), (6;5) и т.п.
Всего таких исходов n = 6*6,
A) m = 5*5. P = (5*5)/(6*6) = 25/36
Б) m = 1. Лишь одна пара (6;6) удовлетворяет условию. P = 1/(6*6) = 1/36.
В) Удовлетворяет условию следующие исходы: (6,4),(4,6),(5,5), (6,5), (5,6), (6,6). m = 6. P = 6/(6*6) = 1/6.
Г) Искомому значению удовлетворяет событие, противоположное предыдущему (В), поэтому ответом будет P = 1 - (1/6) = 5/6.
Пояснение к Г) : События В) и Г) взаимно противоположные, т.е. они не пересекаются и в объединении дают все пространство исходов, так что
P_в + P_г = 1.