1)Sin(2x)=cos(2x)
tg(2x)=1
2x=acrtg 1
2x= \frac{ \pi }{4} + \pi n n∈Z
x= \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2}
2)Разделим равенство на cos²x ≠ 0;
2sin²x + 3sinxcosx - 2cos²x = 0;
2sin²x/cos²x + 3sinxcosx/cos²x - 2cos²x/cos²x = 0;
2tg²x + 3tgx - 2 = 0;
Выполним замену tgx = t:
2t² + 3t - 2 = 0;
Определим дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = ( 3)² - 4 * 2 *( - 2) = 9 + 16 = 25;
t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √25) / 2 * 2 = ( -3 - 5) / 4 = - 8 / 4 = - 2;
t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √25) / 2 * 2 = ( -3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2;
4. Eсли t1 = - 2:
tgx = - 2;
х = arctg( - 2) + πn, n ∈ Z;
х = - arctg(2) + πn, n ∈ Z;
Eсли t2 = 1/2:
tgx = 1/2;
х2 = arctg(1/2) + πm, m ∈ Z;
ответ: х = - arctg(2) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg(1/2) + πm, m ∈ Z.
{√x+√y=4 {√x*√y=3 ОДЗ: х≥0 у≥0 Обе части первого уравнения возведём в квадрат: {(√x+√y)² = 4² {√x*√y=3 { x + 2√х*√y + у = 16 {√x*√y = 3 Из второго уравнения произведение √х*√у =3 подставим в первое. x + 2*3 + y = 16 х + у = 16 - 6 х + у = 10 у = 10-х Подставим значение у = 10-х во второе и получим: √х*√(10-х) = 3 Возводим в квадрат обе части уравнения: х(10-х) = 3² 10х - х² = 9 х² - 10х + 9 = 0 D = b² - 4ac D = 100 - 4*1*9=100 - 36 = 64 √D = √64 = 8 x₁ = (10+8)/2 = 18/2 = 9 x₂ = (10-8)/2 = 2/2 = 1 Подставим в уравнение у = 10-х значения х₁=9 и х₂=1 и найдём у. у₁ = 10-9=1 у₂= 10-1=9 Все значения удовлетворяют ОДЗ. x₁=9; y₁=1 x₂=1; y₂=9 ответ: {9; 1}; {1; 9}
Объяснение: