Объяснение:
Чтобы найти экстремумы, нужно взять производную и приравнять ее к 0.
y' = 4x^3 - 4*3x^2 - 18*2x = 4x^3 - 12x^2 - 36x = 0
4x(x^2 - 3x - 9) = 0
x1 = 0
Дальше решаем квадратное уравнение
D = 3^2 - 4*1*(-9) = 9 + 36 = 45 = (3√5)^2
x2 = (3 - 3√5)/2 ≈ -1,854 < 0
x3 = (3 + 3√5)/2 ≈ 4,854 > 0
Теперь проверяем максимумы и минимумы.
При x < (3 - 3√5)/2 будет y' < 0, функция убывает.
При x € ((3 - 3√5)/2; 0) будет y' > 0, функция возрастает.
Значит, x2 = (3 - 3√5)/2 - точка минимума.
При x € (0; (3 + 3√5)/2) будет y' < 0, функция убывает.
Значит, x1 = 0 - точка максимума.
При x > (3 + 3√5)/2 будет y' > 0, функция возрастает.
Значит, x3 = (3 + 3√5)/2 - точка минимума.
Основная теорема алгебры. Уравнение n-го степеня имеет n корней. Иными словами: каков старший степень - столько и корней (действительные и комплексные)
Решим к примеру 
уравнение в действительных корнях.
Рассмотрим функцию 
. Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой.
Также рассмотрим правую часть уравнения: функцию 
. Графиком линейной функции является прямой, проходящей через точки (0;6), (-6;0).
графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень и 6 комплексно-сопряженные корни.
Возьмем теперь к примеру уравнение 
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корня.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равные корни.
Если D<0, то квадратное уравнение действительных корня не имеет, но имеет два комплексно сопряженных корня.
