Question

Докажите что если прямая у=кх+м, у=мх+н, у=нх+к на координатной плоскости имеют общую точку то Они совпадают

Answer 1

Пусть это точка $(x_{0},y_{0})$. Тогда $kx_{0}+m=mx_{0}+n=nx_{0}+k$. Отсюда $\begin{cases}kx_{0}+m=mx_{0}+n\\kx_{0}+m=nx_{0}+k\end{cases} \Rightarrow x_{0} = \dfrac{n-m}{k-m} = \dfrac{k-m}{k-n}$, получаем: $(k-m)^2=(n-m)(k-n) \Leftrightarrow k^2+m^2+n^2 - mn-km-nk = 0$, последнее равенство после умножения на $2$ переписывается в виде $(k-m)^2+(k-n)^2+(m-n)^2 = 0\Leftrightarrow k=m=n$.