В этой задаче мы имеем дело с последовательностью четных чисел начиная с 2,
которая явлвется арифмтической прогресиией.
а₁ = 2, d = 2
Найдем такое натуральное число n , при котором Sn > 240.
Sn=( 2а₁ + d(n - 1))/2 *n
( 2* 2 + 2(n - 1))/2 *n > 240
(4 + 2(n - 1))/2 *n > 240
(2 + n - 1) *n > 240
(1 + n) *n > 240
n² + n - 240 > 0
Найдем корни трехчлена n² + n - 240, для этого решим уравнение: n² + n - 240 = 0
D = 1 + 4*240 = 961 √D = 31
n = (-1 + 31)/2 = 15
или
n = (-1 - 31)/2 = - 32/2 = -16
Итак, строим числовую прямую и на ней откладываем точки 15 и -16, являющиеся корнями, сортим на старший коэффициент, он больше 0, значит ветви параболы направлены вверх, отмечаем промежутки знакопостоянства функции знаками + и - :
+ +
00
- 16 15
-
возвращаясь к неравенству n² + n - 240 > 0 , видим, что нас интересуют те промежутки, где функция положительно, значит это промежутки:
( - ∞ ; -16) ∨ (15 ; + ∞)
Но т.к. нас интересуют только натуральные числа, то остается промежуток
(15 ; + ∞), значит минимальное число n четных чисел, которые надо сложить, чтобы их сумма оказалаь больше 240 - это минимальное число из этого промежутка, т.е это число 16.
ответ: надо сложить 16 четных чисел.
Пусть одна диагональ равна 2х, другая - 2у, тогда 2х+2у=24 и х+у-12, откуда у=12-х.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, таким образом, площадь ромба состоит из 4-х прямоугольны треугольников с катетами х и у, т.е. площадь ромба S=4*0.5xy=2xy.
Подставим сюда у=12-х и получим S=24x-2x^2.
Найдём максимум этой функции. S'= 24-4x.
Стационарная точка: 24-4х=0 х=6
При х=7 S'<0; при х=5 S'>0, следовательно при х=5 имеем максимум S.
у=12-х=12-6=6.
Тогда Smax=2*6*6=72.
Интересно, что получился квадрат с диагоналями, равными 12.
