Квадратные неравенства, вопрос о тактике решения (без формулы) Возьмём простое неравенство которое можно спокойно решить с factoring (извиняюсь, не знаю как по-русски этот метод называется. Думаю, вы поймёте).
x²-14>0
Через факторинг оно будет решаться так:
(x-4)(x+3)>0
x=4, x=-3
В чём суть вопроса. Как мне поставить 4 и 3 в правильном порядке? Ведь если я напишу (x-3)(x+4), то ответом уже будет x=-4, x=3, что имеет совершенно иную картину на графике.
Я понимаю что это проверяется очень легко с преобращения обратно, то есть если б это было (x-3)(x+4), то изначальной формой стало бы уравнение x²+x-12, что уже является совершенно другим уравнением.
Но вопрос, можно ли это сделать сразу верно? Есть ли какая-то тактика, чтоб не терять время на перепроверку, а сразу в правильном порядке находить значения икса, используя данный метод?
Если надо решить неравенство х²-14>0 , то левую часть можно разложить (factoring) на множители с формулы разности квадратов:
х²-14=(х-√14)(х+√14) .
Тогда неравенство будет иметь вид (х-√14)(х+√14)>0 .
Нулями функции f(x)=(х-√14)(х+√14) будут числа х=√14 и х= -√14 , так как при этих значениях переменной х функция f(x)=0 .
Чтобы числа расставить правильно на числовой оси , надо вспомнить, что отрицательные числа меньше, чем положительные, значит на числовой оси отрицательное число находится левее, чем положительное .
(-√14) (√14)
Теперь применяем метод интервалов решения неравенств. Расставляем знаки на полученных интервалах . На этих интервалах функция сохраняет знаки .
Начинаем с правого интервала . Выбираем точку, принадлежащую интервалу (√14;+∞) , например х=100 . Подставляем это число в функцию , получим (100-√14)(100+√14)>0 (ясно, что 100>√ 14 , поэтому 1 и 2 скобки будут положительны , значит всё произведение будет положительным) . Ставим на промежутке знак + .
Аналогично, выбираем х=0 ∈ (-√14;√14) . Вычисляем знак функции:
(0-√14)(0+√14)= -√14*√14<0 . Ставим знак минус .
х= -100 ∈ (-∞; -√14) , (-100-√14)(-100+√14)>0 (отрицательное число умножаем на отрицательное, получим положительное число) . Ставим знак плюс .
+ + + + + (-√14) - - - - - (√14) + + + + +
Так как неравенство задано со знаком больше (>) , то в ответ выбираем промежутки, где записан знак плюс .
ответ: х ∈ (-∞; -√14) ∪ (√14;+∞) .
2. Если задано неравенство (x-4)(x+3)>0 , то сначала определяем нули функции , приравняв каждую скобку 0 .
x-4=0 ⇒ x=4
x+3=0 ⇒ x= -3
Число -3 < 4 , поэтому лежит левее на числовой оси, чем 4 .
(-3) (4)
Знаки считаем на интервалах аналогично.
х=100 : (100-4)(100+3)>0
x=0 : (0-4)(0+3)<0
x= -20 : (-20-4)(-20+3)>0
Знаки: + + + + + (-3) - - - - - (4) + + + + +
ответ: х ∈ (-∞;-3) ∪ (4;+∞) .
3. (х-3)(х+4)>0
Нули функции: х=3 , х= -4 , -4 < 3 .
Знаки; + + + + + (-4) - - - - - (3) + + + + +
ответ: х ∈ (-∞;-4) ∪ (3;+∞) .