Question

1. найдите значения тригонометрических функций угла а если известно что tga=8/15 и п < a< 3п/2

Answer 1

известно, что $tga=\frac{sina}{cosa}$ поскольку $a \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, то тогда $sina \neq 0 \\ cosa \neq 0$

Теперь начнем решать:

$tga=\frac{8}{15} \\ \frac{sina}{cosa}=\frac{8}{15} \\ \\ sina=\frac{8}{15}cosa$

Известно так же, что $cos^2a=1-sin^2a \\ cosa=^+_{-}\sqrt{1-sin^2a}$ 

Подставляем и получаем:

$sina=^+_{-}\frac{8}{15}\sqrt{1-sin^2a}$ 

Возводим все в квадрат и получаем:

$sin^2a=\frac{64}{225}(1-sin^2a) /\cdot 225 \\ 225sin^2a+64sin^a=64 \\ 289sin^2a=64 \\ sin^2a=\frac{64}{289} \\ sina=^+_-\sqrt{\frac{64}{289}} \\ sina=^+_-\frac{8}{17}$ 

Т.к    $a \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, то получаем, что sina <0, значит нам подходит только отрицательное решение, а именно:

$sina=-\frac{8}{17}$ 

Теперь подставим в исходное уравнение вместо синуса это значение и найдем косинус. В итоге получится:

$\frac{-\frac{8}{17}}{cosa}=\frac{8}{15} \\ \\ -\frac{8}{17cosa}=\frac{8}{15} /\cdot \frac{17}{8}cosa \\ \\ -1=\frac{8}{15}\cdot \frac{17}{8}cosa \\ \\ -1=\frac{17}{15}cosa \\ cosa=-\frac{15}{17}$ 

Теперь найдем значение для котангенса:

По формуле:

$ctga=\frac{cosa}{sina}=\frac{1}{tga} \\tga=\frac{8}{15} \\ctga=\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}$

$sina=-\frac{8}{17}$

$cosa=-\frac{15}{17}$ 

$tga=\frac{8}{15}$ 

$ctga=\frac{15}{8}$