Пусть a>b>0 докажите что a³>b³, a³>ab², a⁴>a²b², a²b²>b⁴
a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a>b>0 ⇒ a - b > 0 a > 0 b > 0
1. a³>b³
a³ - b³ > 0
(a - b)(a² + ab + b²) > 0 так как a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд
2. a³>ab²
a³ - ab² > 0
a(a² - b²) > 0
a( a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд
3, a⁴>a²b²
a⁴ - a²b² > 0
a²(a² - b²) > 0
a²(a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд
4. a²b²>b⁴
a²b²- b⁴ > 0
b²(a² - b²) > 0
b²(a - b)(a + b) > 0 так как b и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд
Дано:∆ АВС - прямоугольный, угол С =90º
СК - бисскетриса.
ВК=30
АК=40
Решение задачи начнем с рисунка.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Это относится ко всем треугольникам.
Из этого отношения следует отношение катетов:
ВС:АС=30:40=3:4
Пусть коэффициент отношения катетов будет х.
Тогда
ВС=3х
АС=4х
По т.Пифагора
АВ²=ВС²+АС²
70²=9х²+16х²=25х²
х²=196
х=14
АС=4*14=56 с
ВС=3*14=42 см
Опустим из точки К перпендикуляр КН на АС ( расстояние от точки до прямой -перпендикуляр)
КН║ВС, ∠ А общий
∆ АКН подобен ∆АВС
Из подобия
АВ:АК=ВС:КН
70:40=42:КН
КН=1680:70=24 см
Тем же из подобия КМВ и АВС найдем МК=24 (можно проверить).
Но треугольники ВМК и АНК не равны, как может показаться.
В них равные катеты лежат против разных углов.
АН=56-24=32 см
ВМ=42-24=18 см
Найдя КН, можно не находить отдельно расстояние КМ.
МКНС - квадрат, т.к. ∠С=90º по условию, ∠КАМ=∠КНС=90º по построению, а диагональ -биссектриса угла С
Подробнее - на - ответ:
Объяснение:
1 и 3 верные