Question

Докажите, что в десятичной записи числа 2 ^697 какая-то цифра встретится не менее 22 раз.

Answer 1

Для начало нужно узнать сколько цифр будет в данном числе , можно использовать метод оценки чисел , то есть ясно что к примеру $10^5$ в ней с единице 6 цифр , используем его 
$2^{697}=(2^{17})^{41}=(131072)^{41}(100000)^{41}\\$ а в числе $(10^5)^{41}=206$ цифр то есть в нашем чисел более $206$ цифр . 
Но так как наше число образованна произведением чисел $2$  в ней вероятность попадания четных чисел большая .    
Предположим что есть какая то цифра $x$ и ее периодичность в среднем  встречается в 4 раза то мы знаем что цифр в числе больше 206 , я проверил точно их 216 , это не важно , тогда 216/4=54 цифр . Снизим нашу вероятность 216/10=21,6
то есть уже 21. Но учитывая то что числа в четной степени важно заметить что числа к примеру 1,5,0,7  будут реже всех встречаться это видно из соображения разложение в степени двоек ,  так как если в числе число 0 превосходило всех то в них было произведение множителей вида $2^n*5^k$ .
Далее оценим вероятность попадания 8 , $2^3=8$ то она может встречаться с вероятностью больше чем  4 других числа. 
То есть из этого можно сделать вывод что уже 4 числа будет встречаться реже всех. А остальные 6 с большой вероятностью . А ранее мы оценили периодичность , объединяя ее получаем что в среднем хотя бы через каждые каких то определенных чисел будут встречаться Цифра с периодичностью 
$\frac{216}{10}$<x