Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.
Формулировка теоремы косинусов
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:
Теорема косинусов
Изображение для пояснения сути теоремы косинусов - квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними
Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними
Полезные формулы теоремы косинусов:
Полезные формулы теоремы косинусов - сама теорема, нахождение косинуса угла по трем сторонам и нахождение самого угла по трем сторонам треугольника
Как видно из указанного выше, с теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.
Доказательство теоремы косинусов
Теорема Косинусов
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)
Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD
Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
AD / AC = cos α
откуда
AD = AC cos α
AD = b cos α
Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α
Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC
CD2 + BD2 = BC2
для треугольника ADC
CD2 + AD2 = AC2
Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.
CD2 = BC2 - BD2
CD2 = AC2 - AD2
Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b (по условию)
А значение стороны BC обозначим как a.
BC = a
(Именно его нам и нужно найти)
Получим:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую
a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2
раскроем скобки
a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2
получаем
a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α
Теорема косинусов доказана.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Сергей Николаевич Сергеев-Ценский
Неторопливое солнце
Поэма
И здесь, где плескалось море внизу, а вверху сзади стояли горы, где кипарисы купались в голубом зное и розовые тропинки вились по сожженным соломенно-желтым скатам, - и здесь, как везде, каменщики пили больше, чем плотники, кузнецы больше, чем каменщики, слесаря больше, чем кузнецы, больше же всех пили печники и штукатуры.
Бог знает, может быть, в извести и глине, в белой и желтой земле, заложено какое-нибудь неизвестное пьяное бродило, и от одного вида их неудержимо тянет простого, близкого земле человека к вину - только найти трезвого печника было невозможно.
Шесть раз ходил в городок с дачи Пикулина дворник Назар - нужно было поправить плиту на кухне, - печники пили. И когда попался, наконец, рано утром хромой Федор, неизвестно где и как проведший ночь, но теперь почти свежий и к работе, Назар неотступно стоял перед ним, пока не убедил пойти на дачу.
- Да ведь в гору! - думал увильнуть Федор.
- Ну что ж? Далеко?.. Ах ты ж, господи!.. Я, когда работал, обыденкой за десять верст ходил.
- Нога у меня!.. Видишь, нога хромая.
- Ну что ж, нога! Я раз ногу-то в кровь растер, а за сколько верст ходил! Не пойдешь - не поешь... Вон сторожка в лесу, видишь? Семнадцать верст ходу, а по черной работе и там бывал.
- Бывал - бывал... Везде он бывал... А я и в Ерусалиме бывал, пуп земли видал и прикладывался.
Федор - бородатый, рыжий, нос огромный, вверху костяной, внизу сизый; глаза - серые щелки; картуз внахлобучку, без полей, задряпанный, вытертый; волосы старые, дьячковские; фартук - из грязи, сала, холстины, глины, извести и смолы; штаны - сорока цветов. Говорит басом: шея с огромным кадыком, - должно быть, смолоду хорошо пел и теперь поет, когда сильно пьян. Голову любит подбрасывать бодро, и когда говорит, то сразу всем телом: и глазами, и шеей, и длинным носом, и бородою, и даже хромой ногой. А Назар молодой еще, но какой-то весь свалявшийся, залежалый, как сухой веник: хочется подержать его в кипятке, распарить. Скулы у него торчат, усы белесые, еле видные, бороды нет - не растет; бровями все время озабоченно думает.
Городок весь каменный и черепичный, - совсем маленький: одна церковь, две мечети. На раскаленной набережной, забранной от моря бетонной стеной, сгрудились мелкие лавчонки.
- Хочешь воды зельтельской? - спрашивает сурово Федор Назара. - Ежели хочешь, на, пей. - И сам цедит в стакан из сифона и бросает на прилавок две копейки. Старый лавочник Мустафа сидит, смотрит, курит трубку; зачем подыматься ему, когда и без него все найдут! Самое трудное у него - отрезать халвы сколько надо; но многие и это делают хорошо.
Медленно проходит мимо страшно тучная дама, вся в белом и под белым зонтиком с кружевом. От зонтика на серой мостовой синеватая тень с маленьким золотым зайчиком в середине: должно быть, зонтик дырявый. Остановился чей-то сильный рыжий сеттер над самой бетонной стеной, четко врезался в синеву моря и задумчиво смотрит, а в море белые чайки, точно их припаяло к воде, качаются вместе с рябью, а дальше - идут не идут возле самого горизонта два, три, четыре баркаса-парусника и совсем выпадает - еле держит глаз - пароход.
На перевал к даче идти тяжело. Тропинка взбирается на него хитрыми изворотами по сыпучему шиферу, и снизу вид у нее, как у балованной гончей на охоте.
- Как это - не понимаю я этих людей! - ворчит Федор. - Что теперь, зима? Непременно тебе плиту? На дворе готовить не можешь? Эх, народ нежный!
И несколько раз садится он отдыхать и потирает с большой любовью отвердевшее колено.
- Ведь это я ее как? - говорит Назару. - Я ее простым манером сломал: с лестницы спускался - вот от базара сейчас к речке лестница вниз - был немного тово, а дожжик шел, и ступеньки... они, стало быть, камень, склизкие, - упал, и, значит, самый хрящик в коленке хрясь - пополам!.. Сказал доктор в нашей больнице: серебряными нитками сшивать. Ну, таким манером тут они только не могут, а надо в настоящую ехать, в губернскую, там зашьют. Там бы зашили, а? Там бы это - пус-стяк! А только туда ехать мелочи нет.
- Пьянство нашего брата губит. Это все равно - чистый яд.
- Говорю тебе: лестница каменная, склизкая и дожжик шел... Пьянство! Что ж я до этого так никогда и не пил? Обдумай умом.
На перевале, откуда до дачи Пикулина двести - триста шагов, Назар вспоминает вдруг, что ведет Федора так,
х1=4-0/2=2