1+sinx·√(2ctgx) ≤ 0
Подкоренное выражение не может быть отрицательным
ctg x ≥ 0 0.5π ≥ x > 0 это в 1-й четверти
1.5π ≥ x > π это в 3-й четверти
в 1-й четверти sinx > 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)> 0
в 3-й четверти sinx < 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)может стать меньше 0, если
sinx·√(2ctgx) ≤ -1
делим на отрицательный синус
√(2ctgx) ≥ -1/sinx
обе части положительны
возводим в квадрат
2ctgx ≥ 1/sin²x
2ctgx ≥ 1 + ctg²x
1 + ctg²x - 2ctgx ≤ 0
(1 - ctgx)² ≤ 0
Квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому остаётся только
равенство нулю:
1 - ctgx = 0
ctgx = 1 (четверть 3-я!)
х = 5/4π
Решение единственное: при х = 5/4π выражение 1+sinx·√(2ctgx) = 0
ну, и, разумеется следует добавить 2πn, тогда решение такое:
х = 5/4π +2πn
1.
√3 tg(3x-π/4)+1≤0;
tg(3x-π/4)≤-1/√3;
-π/2+πn≤3x-π/4≤arctg(-1/√3)+πn, n∈Z;
-π/2+πn ≤ 3x-π/4 ≤- π/6+πn, n∈Z;
-π/2+π/4+πn ≤ 3x ≤ - π/6+π/4+πn, n∈Z;
-π/6+π/12+(π/3)·n ≤ x ≤ - π/18+π/12+(π/3)·n, n∈Z;
-π/12+(π/3)·n ≤ x ≤ π/36+(π/3)·n, n∈Z;
2.
2sin² x + 5cosx+1=0; воспользуемся формулой sin² x=1-cos²х;
2·(1-cos²х)+ 5cosx+1=0;
2-2cos²х+ 5cosx+1=0;
2cos²х- 5cosx-3=0;
Замена у=cosx;
2у²-5у-3=0;
Д=25-4·2·(-3)=49, √Д=7;
у₁=(5-7)/4=-3/4;
у₂=(5+7)/4=12/4=3;
Возвращаемся к замене:
cosx=3 - нет решений, поскольку |cosx|≤1
cosx=-3/4,
х=±arccos(-3/4) +2πn, n∈Z; т.к cosх - четная функция. то
х=±arccos(3/4) +2πn, n∈Z;
3.
2sin4x=-1
sin4x=-½;
4x=(-1)в степени n·arcsin(-½ ) +πn, n ∈ Z;
x=(-1)в степени n·¼arcsin(-½ ) +¼πn, n ∈ Z;
y=3^2-6*3+10=1
и наибольшее допустимое 6
y=6^2-6*6+10=10
значит у(1;10) значения 1 и 10 также входят в диапазон