Question

Доведіть, що при а≥0, b≥0, c≥0 виконується нерівність: (а+15)(b+3)(с+5)≥120√a√b√c

Answer 1

Використовуючи нерівність між середнім арифметичним двох чисел і їх  середнім геометричним
при $x \geq 0; y \geq 0$: $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$
маємо
$\frac{a+15}{2} \geq \sqrt{15a}$
$\frac{b+3}{2} \geq \sqrt{3b}$
$\frac{c+5}{2} \geq \sqrt{5c}$
перемноживши відповідно ліві і праві частини останніх трьох нерівностей отримаємо
$\frac{(a+15)(b+3)(c+5)}{2*2*2} \geq \sqrt{15a}*\sqrt{3b}*\sqrt{5c}$
$(a+15)(b+3)(c+5) \geq 8* \sqrt{15*3*5 abc}$
$(a+15)(b+3)(c+5) \geq 8*15 \sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}$
$(a+15)(b+3)(c+5) \geq 120 \sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}$
що й треба було довести . Доведено