10-11 класс 1 составьте уравнение касательной к графику функции у=2х(в квадрате) +1 в точке х0=2 2 для функции f(x) = - x(в кубе) + 3х +2найдите: а) промежутки возрастанию и экстремумы функции; б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]
Уравнение прямой на плоскости имеет в общем случае (когда прямая не параллельна ни одной из координатных осей) вид ax+by+c=0, где x и y - координаты любой точки, принадлежащей прямой. 1) При a=0 уравнение прямой принимает вид by+c=0, или y=-c/b. Это значит, что все точки нашей прямой имеют одинаковую ординату y=-c/b, а это означает, что прямая параллельна прямой Ox. 2) При b=0 уравнение принимает вид ax+c=0, или x=-c/a. Это значит, что все точки прямой имеют одинаковую абсциссу x=-c/a, т.е. прямая параллельна оси Oy. По условию, a=5, c=5, и уравнение принимает вид x=-5/5=-1. ответ: уравнение прямой есть х=-1
Для того,чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным,т.е (3p-5)^2-4(3p^2-11p-6)>=0. При таких "p" у исходного уравнения найдутся(возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета: x1+x2=-b/a=5-3p x1*x2=c/a=3p^2-11p-6 Теперь,не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через "p": x1^2 + x2^2. Выделим полный квадрат: (x1+x2)^2-2x1*x2= (5-3p)^2-2(3p^2-11p-6). По условию, эта сумма квадратов равна 65. Получаем: (5-3p)^2-2(3p^2-11p-6)=65 Решим его: 25-30p+9p^2-6p^2+22p+12-65=0 3p^2-8p-28=0 D=(-8)^2-4*3*(-28)=400 p1=(8-20)/6=-2 p2=(8+20)/6=14/3 Проверим, подставив эти значения "p" в исходное уравнения, чтобы убедиться, что дискриминант неотрицателен. Проверять здесь не буду из-за экономии времени. Все найденные "p" подходят. Теперь найдем корни уравнения: 1)p=-2 x^2-11x+28=0 x1=4; x2=7 2)p=14/3 x^2+9x+8=0 x1=-8; x2=-1 ответ: при p=-2 x1=4, x2=7; при p=14/3 x1=-8, x2=-1.
Задание 1
Составьте уравнение касательной к графику функции
у=2х²+1 в точке Х₀=2
Уравнение касательной:
у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)
найдем f(x₀)=2*2²+1=9
найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x
f`(x₀)=4*2=8
Тогда уравнение касательной
у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7
Задание 2
Для функции f(x) = - x³ + 3х +2
Найдите:
а) промежутки возрастания и экстремумы функции
Найдем производную нашей функции
f`(x)= -3x²+3
найдем нули производной
f`(x)=0
-3x²+3=0; x²=1; x=±1
точки экстремума х=±1
Теперь определим промежутки возрастания и убывания
для этого определим знаки производной на промежутках
__- -1+1-
убывает возрастает убывает
промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)
промежутки возрастания [-1;1]
точка х= -1 точка минимума
точка х=1 точка максимума
б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]
На данном отрезке функция убывает, значит
при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4
при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16