1) a/16 + x/16 =(a+x)/16
2) 5m/n - 3m/n =2m/n
3) 3x +4y/12 - x+2y/12 =2x+6y/12=2x+y/2
4) a+2b/2c - a-4b/2c =b/c-2b/c=-b/c
5) a-8/a^2-25 + 13/a^2-25 =a-8/(a+5)*(a-5)
6) 5x+1/2 - x/2 =9x/2+1/2=4,5x+1/2
7) a+3/4 - a+1/4 =4/4=1
8) 2x/a-b - x/b-a =2x/a-b + x/a-b=3x/a-b
9) a/x-1 + b/1-x =a/x-1 - b/x-1=a-b/x-1
10) a-5/a-3 + a+5/3-a =a-5/a-3 - a+5/a-3=(a-5)*(a+5)/a-3=(a^2-25)/a-3
11) 3x-2/5 + 5x-3/3 =(9x-6+25x-15)/15=(24x-21)/15=3*(8x-7)/15=(8x-7)/5
12) 2m+5/6 - m-a/8 =m+(20-6a)/24=m+2*(10-3a)/24=m+(10-3a)/12
13) 7/10a -5/4a =(70-25)/20a=45/20a=9/4a
Для этого я найду базисную пару (x0;y0) путём подбора. Как я это сделаю? Вместо y будем подставлять остатки от деления на 3. Какие это остатки? 0,1 и 2. Рассмотрим все возможные случаи.
y = 0, тогда 3x = 11, x = 11/3 - очевидно, не целое число.
y = 1, тогда 3x + 5 = 11, 3x = 6, x = 2 - это нам подходит.
Итак, пара (2;1) - базисная для нашего уравнения. Отсюда будем искать общий закон, по которому можно будет найти все остальные решения уравнения.
Пусть n - произвольный целочисленный параметр, а 5/НОД(3,5) = 5, 3/НОД(3,5) = 3, тогда
x = 2 + 5n
y = 1 - 3n
Это и есть общий закон. Подставляя сюда любое целое n, будем каждый раз получать любое целое решение уравнения.
2)20x - 15y = 51
Замечаем, что НОД(20,15) = 5, а 51 не делится нацело на 5. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.
3)2x - 3y = 17
Видим, что НОД(2;-3) = 1, а 17 делится на 1 нацело. Следовательно, уравнение имеет решения в целых числах. Найдём общий закон, описывающий все эти решения.
Для начала отыщем вновь базисную пару целых решений.
Будем заменять y на остатки от деления на коэффициент при x, то есть, на 2. Это 0 и 1.
y = 0, тогда x = 17/2 - нецелое число.
y = 1, тогда 2x = 20. а x = 10 - подходит
Итак, пара (10;1) - базисная.
Далее, пусть l - целочисленный параметр. -3/НОД(2,-3) = -3, 2/НОД(2,-3) = 2
Тогда общее решение имеет вид:
x = 10 - 3l
y = 1 - 2l
Подставляя вместо l разные целые числа, будем каждый раз получать соответствующие целые x и y.
4)4x - 3y = 10.2
Для начала домножим обе части уравнения на 10.
40x - 30y = 102
рассмотрим остатки левой и правой части при делении на 10.
Замечаем, что 40x даёт остаток 0 при делении на 10(40 идёт как сомножитель).
-30y даёт остаток 0 при делении на 10(по аналогичной причине). Следовательно, вся левая часть даёт остаток 0 + 0 = 0 при делении на 10, который правая часть не даёт. Правая часть даёт остаток 2 при делении на 10. Следовательно, равенства быть не может.