Если какая-то величина кратна 4-ём, то она останется кратной четырём, если к ней прибавить (или отнять) число кратное четырём. И наоборот, если к величине, кратной 4-ём прибавить (или отнять) число не кратное четырём, то она перестанет быть кратной четырём.
Ну, например, число 36 делится на 4, т.е. оно кратно четырём, если к нему прибавить или отнять 16 (кратно четырём), то и результат будет делиться на 4. А если к 36 прибавить или отнять 15, то ни 21, ни 51 на 4 делиться уже не будут. И даже если к 36 прибавить или отнять чётное, но не кратное четырём, 14, то всё равно ни 22, ни 50 – на 4 уже не разделятся.
Это легко понять в общем случае из примера с делением предметов на четверых.
Если раздать всем четверым по 7 конфет, то всего было роздано 7*4 = 28, и ясное дело, 28 делится на 4, т.е. 4 | 28.
Если раздали всем по z конфет, то всего было роздано 4z конфет, и ясное дело, 4 | (4z)
А если после этого раздать ещё по d конфет, то у каждого будет z+d конфет, во второй раз раздали 4d конфет и 4 | (4d), а вообще за обе раздачи, раздали 4d+4z=4[z+d] и, конечно же, 4 | ( 4[z+d] ) .
Аналогично можно показать, что и при вычитании одного числа кратного четырём из другого, кратного четырём непременно опять получится число, кратное четырём.
Теперь к задаче :–)
В каждом фунте 100 пенсов. Вот и будем для простоты записи всё считать в пенсах.
Винни заплатил целое число фунтов, пусть это число z. Значит, он заплатил 100z пенсов за 4 одинаковых горшочка мёда.
Число 100z кратно четырём, и даже не важно, чему именно равно z, поскольку 100z = 4(25z), значит 4 | 100z
Получается, что за вычетом сдачи, Винни заплатил за 4 горшочка 100z–88 пенсов.
Поскольку мы вычитаем из одного числа, кратного четырём, другое число, кратное четырём – то мы опять получаем число, кратное четырём.
Поскольку честный Пятачок не хотел, чтобы Винни случайно ушёл из магазина с лишними монетами, то он указал на одну, так, чтобы расчёт с Винни был верным.
Это не могла быть никакая другая монета, кроме как 20, поскольку никакие другие не кратны четырём, а 4 | 20.
Тогда получится, что Винни заплатил за 4 горшочка мёда 100z–88+20 пенсов. И эта сумма, как и раньше кратна четырём, т.е. её можно разделить на 4 и получить стоимость одного горшочка мёда. 100z–88+20 = 4 ( 25z – 22 + 5 ) = 4 ( 25z – 17 ).
Если бы, например, Пятачок вернул 50 пенсов, то у горшочков мёда не могло бы быть целочисленной цены. В самом деле, вышло бы, что Винни заплатил бы в итоге 100z–88+50 пенсов. Но, поскольку у этого числа два слагаемых делятся на 4, а одно не делится, то и вся сумма на 4 уже делиться не будет. Получится 100z–88+50 = 2 ( 50z – 44 + 25 ) = 2 ( 50z – 19 ) = 4 ( 25z – 9.5 ) . Т.е. у мёда была бы не цела цена в пенсах, чего не бывает
Пусть в зале было х рядов и у мест в каждом ряду. Т.к. всего мест в зале было 550, составим первое уравнение: ху=550
После расширения зала число рядов стало равно х+3, а число мест в каждом ряду стало равно у+2. Т.к. общее количество мест увеличилось на 122, составим второе уравнение: (х+3)(у+2)=550+122
Решим систему уравнений: {xy=550 {(x+3)(y+2)=672
{y=550/x {(x+3)(550/x +2)=672 2x²-116x+1650=0 x²-58x+825=0 D=64=8² x₁=(58+8)/2=33; x₂=(58-8)/2=25 y₁=550/33=16 2/3 - полученный корень не является натуральным числом, поэтому это лишний корень у₂=550/25=22 - количество мест в каждом ряду до расширения зала Следовательно, количество рядов до расширения зала было равно 25, а после расширения зала оно стало равно 25+3=28
