Question

Докажите, что если целые числа k, s, v удовлетворяют равенству (k-5)2+(s-12)2–(v-13)2 = k2+s2–v2, то обе части равенства — точные квадраты.

Answer 1

(k-5)^2 + (s-12)^2 - (v-13)^2 = k^2 + s^2 - v^2
k^2 - 10k + 25 + s^2 - 24s + 144 - (v^2 - 26v + 169) = k^2 + s^2 - v^2
k^2 + s^2 - v^2 - 10k - 24s + 26v = k^2 + s^2 - v^2
-10k - 24s + 26v = 0
13v = 5k + 12s
5k = 13v - 12s = 10v + 3v - 10s - 2s = 10(v - s) + (3v - 2s)
k = 2(v - s) + (3v - 2s)/5
Чтобы k было целым, (3v - 2s) должно делиться на 5
Это бывает при таких сочетаниях:
v = 1, s = -1; k = 3
v = 2; s = 3; k = -2
v = 0; s = -5; k = 12
v = 0; s = 5; k = -12
И так далее.
Но что с этим дальше делать, и как доказать, что это точные квадраты - совершенно непонятно.