Question

Докажите, что для любого натурально n верно равенство: 1) (n+! =n! n 2) (n+! +(n-1)! =(n^2+1)(n-1)! 3) (n-1)! /n! - n! /(n+1)! =1/n(n+1) ничего не понимаю, ,

Answer 1

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n$

$(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n+1)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n)\cdot (n+1)=n!\cdot (n+1)\\\\1)\; (n+1)!-n!=n!(n+1)-n!=n!((n+1)-1)=n!n\\\\2)(n+1)!-n!+(n-1)!=(n-1)!\, n(n+1)-(n-1)!\, n+(n-1)!=\\\\=(n-1)!\cdot (n(n+1)-n+1)=(n-1)!(n^2+n-n+1)=\\\\=(n-1)!(n^2+1)$

$3)\frac{(n-1)!}{n!}-\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1)!\, n}-\frac{n!}{n!\, (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\\\=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$