Question

Докажите тождество 2cos^2a-1/ 2sinacosa + sin3a-sina/cos3a+cosa= 1/sin2a заранее

Answer 1

Объяснение:

$\frac{2cos^{2}\alpha -1 }{2sin\alpha cos\alpha } +\frac{sin3\alpha-sin\alpha }{cos3\alpha +cos\alpha } = \frac{1}{sin2\alpha } .$

Преобразуем левую часть :

$\frac{2cos^{2}\alpha -1 }{2sin\alpha cos\alpha } +\frac{sin3\alpha-sin\alpha }{cos3\alpha +cos\alpha } = \frac{2cos^{2}\alpha -1 }{2sin\alpha cos\alpha } +\frac{2sin\alpha*cos2\alpha }{2cos2\alpha *cos\alpha } =\frac{2cos^{2}\alpha -1 }{2sin\alpha cos\alpha } +\frac{sin\alpha }{cos\alpha } =\\\\=\frac{2cos^{2}\alpha -1+2sin^{2} \alpha }{2sin\alpha cos\alpha } = \frac{2(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha)-1 }{sin2\alpha } =\frac{2-1}{sin2\alpha } =\frac{1}{sin2\alpha } .$

Левая часть равна правой части и тождество доказано. При доказательстве были использованы следующие формулы:

$sin\alpha -sin\beta =2sin\frac{\alpha-\beta }{2} *cos\frac{\alpha +\beta }{2} ;\\\\cos\alpha +cos\beta =2 cos\frac{\alpha +\beta }{2} *cos\frac{\alpha -\beta }{2} ;\\\\sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;\\\\sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha .$