y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
Пусть х км/ч собственная скорость теплохода х+2 - скорость по течению реки, х-2 - скорость против течения реки Зная, что против течения теплоход расстояние 72км - 72 : (х-2) - это время против течения и 56 : (х+2) - это время по течению. Зная, что разница во времени сост 1 ч, сост ур-ие: 72/(х-2) - 56/(х+2)= 1 72х+144 - 56х+112 = (х-2) (х+2) 16х+256 = х²-4 -х²+16х+256+4 = 0 -х²+16х+260 = 0 Д=в²-4ас Д= 256 - 4 (-1)* (260) Д = 1296 х₁ = -в+√Д / 2а х₂ = -в-√Д / 2а х= -16+36 / -2 х= -16-36 / -2 х= -10 х= 26 Скорость теплохода 26 км/ч
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
ОДЗ : -x² + 4x + 5 > 0
-(x² - 4x - 5) > 0 ⇔ x² - 4x - 5 < 0 ⇔
(x - 5)(x + 1) < 0
Метод интервалов
+++++++ (-1) -------- (5) ++++++++ >>> x
ОДЗ : x ∈ (-1; 5)
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2 = log₂(-x² + 4x + 5) + log₂4 =
= log₂ ( ( -x² + 4x + 5) * 4) = log₂( -4x² + 16x + 20)
y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
Максимальное значение функции :y(2) = log₂(-2² + 4*2 + 5) + 2 = log₂9 + 2 = 2( log₂3 + 1)
ответ: точка максимума х₀ = 2