Question

Вычислите сумму 1/15+7/30+12/30++57/30.

Answer 1

$\frac{1}{15}+\frac{7}{30}+\frac{12}{30}+...+\frac{57}{30}=\frac{2}{30}+\frac{7}{30}+\frac{12}{30}+...+\frac{57}{30}\\\\$

Числитель представляет собой арифметическую прогрессию, в которой :

a₁ = 2       a₂ = 7

a₂ = a₁ + d

d = a₂ - a₁ = 7 - 2 = 5

aₙ = 57

aₙ = a₁ + d(n - 1) = 2 + 5(n - 1) = 2 + 5n - 5 = 5n - 3

5n - 3 = 57

5n = 60

n = 12

$S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}*12=(2+57)*6=354\\\\\frac{1}{15}+\frac{7}{30}+\frac{12}{30}+...+\frac{57}{30}}=\frac{354}{30}=11,8$

Answer 2

$\frac{1}{15} + \frac{7}{30} + \frac{12}{30} + ... + \frac{57}{30} = \\ = \frac{2}{30} + \frac{7}{30} + \frac{12}{30} + ... + \frac{57}{30} = \\ = \frac{1}{30} (2 + 7 + 12 + ... + 57)$
В круглых скобках стоит сумма членов арифметической прогрессии (2, 7, 12, ..., 57), где каждый следующий член получен из предыдущего прибавлением одного и того же числа d=5 (разность прогрессии).
Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле
$s = \frac{(a_{1} + a_{n} )n }{2}$
где а_{1} - первый член прогрессии, а_{n} - n-ый член прогрессии, n - число членов прогрессии.
В нашем случае, а_{1}=2, а_{n} =57.
Найдем число n членов арифметической прогрессии, используя формулу
$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$
57=2+(n-1)*5
(n-1)*5=55
n-1=11
n=12
Таким образом, искомая сумма равна
$\frac{1}{30} \frac{(2 + 57) \times 12}{2} = \frac{1}{30} \frac{59 \times 12}{2} = \\ = \frac{59}{5} = \frac{118}{10} = 11.8$