Геометрическая прогрессия Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится.
Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.
Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..
Решение. Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
Пример 2 Найти сумму ряда .
Решение. Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна
Пример 3 Найти сумму ряда
Решение. Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
то получаем следующий результат:
Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение. Запишем периодическую дробь в следующем виде:
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем
Пример 5 Показать, что
при условии x > 1.
Решение. Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде
что доказывает исходное соотношение.
Пример 6 Решить уравнение
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид
Находим корни квадратного уравнения:
Поскольку |x| < 1, то решением будет .
Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% - от другой величины, цены на конец января. Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.
Решение можно записать так:Пусть S – первоначальная цена.1)1,3S – цена в конце января (130% от S).2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).3)1,56S составляет 156% от S.156% - 100% = 56%ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.
Ax+By+C = 0, где A, B, C - это константы, (A и B одновременно не равны нулю) Это общее уравнение прямой на координатной плоскости XOY. Показать (или доказать) это можно разными Так вот: 6x+3y+18 = 0, это уравнение прямой. Чтобы построить эту прямую на координатной плоскости достаточно найти две различные точки, принадлежащие этой прямой. Найдем какие-либо две точки (два частных решения этого уравнения. Например: положим x_1=0, подставим это в уравнение, получим 3y+18 = 0, <=> y = -18/3 = -6. Первая точка это x_1=0, и y_1=-6. Аналогично находим вторую точку прямой: положим y_2=0, подставим это значение в уравнение прямой, получим 6x+18=0, <=> x=-18/6 = -3. Вторая точка у нас имеет координаты x_2=-3 и y_2 = 0. Теперь следует отметить эти точки на координатной плоскости XOY (на графике), затем взять линейку и с ручки или карандаша провести через эти точки прямую линию. Это и будет график данной в условии прямой.
Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.
Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.
Пример 1
Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..
Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
Пример 2
Найти сумму ряда .
Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна
Пример 3
Найти сумму ряда
Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
то получаем следующий результат:
Пример 4
Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем
Пример 5
Показать, что
при условии x > 1.
Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде
что доказывает исходное соотношение.
Пример 6
Решить уравнение
Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид
Находим корни квадратного уравнения:
Поскольку |x| < 1, то решением будет .
Пример 7
Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии