Дано:
S(прямоугольник)=a*b=108 см²
d(диагональ)=15 см
Найти: длины сторон прямоугольника a=? см, b=? см
Диагональ делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, где a и b - катеты, d (с) - гипотенуза. Каждый из треугольников имеет площадь S=1/2ab=1/2*108=54 cм²
По теореме Пифагора,
a²+b²=c²
a²+b²=15² см
{a²+b²=225
{a*b=108 => a=108/b
108/b)²+b²=225
11664/b²+b²=225 Привести к общему знаменателю:
11664+b⁴-225b²=0 Произвести замену неизвестного:
t=b²
t²-225t+11664=0
D=(-225)²-4*11664=50625-46656=3969 √3969=63
t₁=(225+63)/2=144
t₂=(225-63)/2=81
b₁=√t₁=12
b₂=√t₂=9
a₁=108/12=9
a₂=108/9=12
ответ: длины сторон прямоугольника a=12 cм, b=9 cм, или, наоборот: a=9 см, b=12 см, потому. что, при перестановке множителей произведение не меняется: 12*9=108 = 9*12=108
Проверка: S(прямоугольного треугольника) = 1/2ab
S=54 cм²
(1/2)*12*9=108/2=54 см²
