7.5) 1) Производная дроби как функции определяется по формуле:
(fg) ′ = (f′⋅g - f⋅g′)g².
f' = (0 - 1*(-2x + 2))/((-x² + 2x - 3)²) = (2(x - 1))/((-x² + 2x - 3)²).
Приравняем производную нулю (достаточно числитель):
2(х - 1) = 0.
Получили критическую точку х = 1.
Находим знаки производной левее и правее этой точки:
х = 0 1 2
y' = -0,2222 0 0,2222 .
Как видим, в точке х = 1 производная меняет знак с - на +.
Это минимум функции у = 1/(-1² + 2*1 - 3) = -(1/2).
2) Если под корнем находится сложная функция , то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть : y' = (1/(2√(2 - x))*(-1) + (1/(2√(x + 1))*1 =
= (1/2)*((1/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x =
= (1/2)*((1/(√(2 - x) - √(x + 1))/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x)).
Приравняем нулю (числитель): √(2 - x) - √(x + 1) = 0.
√(2 - x) = √(x + 1). Возведём в квадрат: 2 - x = x + 1. 2х =1. х = 1/2.
Это критическая точка х = (1/2).
х = 0 1/2 1
y' = 0,14645 0 -0,14645 .
В точке х = (1/2) максимум функции: у(1/2) = √6.
f(x)=sin(5x)*cos(6x)-cos(5x)*sin(6x)
f ' (х) = (sin(5x)*cos(6x)-cos(5x)*sin(6x) )' = - (cos(5x)*sin(6x))' + (sin(5x)*cos(6x)) '
применим формулу производной для произведения:
= - cos (5 x) (sin (6 x)) ' + sin (5 x) (cos (6 x)) ' + cos (6 x) (sin (5 x)) ' - sin (6 x) (cos (5 x)) '
применим формулы производных функций косинус и синус:
= - cos (5 x)*6*cos(6x) + sin (5 x)*(-6*sin(6x)) + cos (6 x)*(5*cos(5x)) - sin (6 x)*(-5*sin(5x))=
= - 6*cos (5 x)*cos(6x) - 6*sin (5 x)*sin(6x) + 5*cos (6 x)*cos(5x) + 5*sin (6 x)*sin(5x) = - cos (6 x)*cos(5x) - sin (5 x)*sin(6x) = - (cos (6 x)*cos(5x) + sin (5 x)*sin(6x)) =
Применим формулу косинуса разности 2 углов:
= - cos(6x-5x) = - cos(x)
ответ: производная равна -cos(x)
