Question

Найдите область значение под корнем (2+x-x^2)

Answer 1

Найти:    $E ( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \ ;$

Воспользуемся известной всем
формулой полного квадрата для разности:

[1]    $a^2 - 2 a b + b^2 = (a-b)^2 \ ;$

С учётом того, что пользователь просит написать максимально подробно, будем всё делать по действиям:

1)    $2 + x - x^2 = - ( x^2 - x ) + 2 \$    – надеюсь всё понятно.

2)    $2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} ) + 2 \ ;$    – надеюсь всё понятно.

3)    $2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + ( \frac{1}{2} )^2 - ( \frac{1}{2} )^2 ) + 2 \ ;$

4)    $2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + ( \frac{1}{2} )^2 ) + \frac{1}{2^2} + 2 \ ;$

Обратим внимание на то, что в скобках теперь полный квадрат из формулы [1]. Тогда его можно свернуть в соответствии с формулой [1].

5)    $2 + x - x^2 = - ( x - \frac{1}{2} )^2 + \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4} - ( x - \frac{1}{2} )^2 \leq \frac{9}{4} \ ;$

Вот и получается, что:

$2 + x - x^2 \leq \frac{9}{4} \ ;$

7)    $\sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq \sqrt{ \frac{9}{4} } = \frac{3}{2} = 1.5 \ ;$

$\sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq 1.5 \ ;$

8) Но известно, что:    $\sqrt{ 2 + x - x^2 } \geq 0 \ ;$

9) Поэтому:    $0 \leq \sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq 1.5 \ ;$

или:    $\sqrt{ 2 + x - x^2 } \in [ 0 ; 1.5 ] \ ;$

О т в е т :    $E( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \equiv [ 0 ; 1.5 ] \ .$

**** на всякий случай, добавлю, что:

"Область допустимых значений" здесь была бы
$D( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \equiv [ -1 ; 2 ] \ .$

А "область значений под корнем", т.е. область значений самого
чистого выражения, находящегося под корнем, здесь была бы    $E( 2 + x - x^2 ) \equiv ( -\infty ; 2.25 ] \ .$

и решения для обоих альтернативных вопросов
были бы немного другими.