Question

Решить уравнения: 1) соs2x-5sinx=3 2) sin7x=sin5x 3)5cos^2 x+6sinx-6=0

Answer 1

1) cos2x-5sinx=3
cos²x - sin²x - 5sinx=3
1-sin²x-sin²x-5sinx=3
-2sin²x - 5sinx -2=0
2sin²x+5sinx+2=0

y=sinx

2y²+5y+2=0
D=25-16=9
y₁=(-5-3)/4= -2
y₂=(-5+3)/4= -2/4= -1/2

При y=-2
sinx= -2
Так как -2∉[-1; 1], то уравнение не имеет решений.

При у= -1/2
sinx=-1/2
$x=(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{6}+ \pi k$
ответ: $(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{6}+ \pi k,$k∈Z.

2)
sin7x=sin5x
sin7x-sin5x=0
$2sin \frac{7x-5x}{2}cos \frac{7x+5x}{2} =0$
2sinxcos6x=0
sinxcos6x=0
1) sinx=0                           2) cos6x=0
    x=πk, k∈Z                          6x=π/2  + πk, k∈Z
                                               x=π/12 + (π/6)k, k∈Z.
ответ: πk, k∈Z;
            π/12 + (π/6)k, k∈Z.

3) 5cos²x+6sinx-6=0
5(1-sin²x)+6sinx-6=0
5-5sin²x+6sinx-6=0
-5sin²x+6sinx-1=0
5sin²x-6sinx+1=0

y=sinx

5y²-6y+1=0
D=36-20=16
y₁=(6-4)/10=0.2
y₂=(6+4)/10=1

При у=0,2
sinx=0.2
x=(-1)^k *arcsin0.2 + πk, k∈Z

При y=1
sinx=1
x=π/2 + 2πk, k∈Z.

ответ: (-1)^k*arcsin0.2+πk, k∈Z;
            π/2 + 2πk, k∈Z.