Question

1/(log2 x-4) > 1/(log2 x) решите неравенство

Answer 1

$\frac{1}{ log_{2}x-4 } \ \textgreater \ \frac{1}{ log_{2}x }$,$\frac{1}{ log_{2}x-4 } - \frac{1}{ log_{2} x} \ \textgreater \ 0$
$\frac{ log_{2} x- log_{2}x+4 }{ log_{2}x*( log_{2x} -4) } \ \textgreater \ 0$
$\frac{4}{ log ^{2} _{2}x-4* log_{2}x } \ \textgreater \ 0$
дробь больше нуля, если числитель и знаменатель одинаковых знаков, т.е. оба положительны или оба отрицательны.
4>0, ⇒ $log^{2} _{2} x-4* log_{2}x\ \textgreater \ 0$ логарифмическое квадратное уравнение, замена переменной:
$log_{2} x=t, t \neq 4, t \neq 0$
t²-4t>0, t*(t-4)>0
     +              -                   +
---------(0)-----------(4)------------->t
t<0, t>4
обратная замена:
t<0
log₂x<0. 0=log₂2⁰=log₂1
log₂x<log₂1
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textless \ 1}} \right.$⇒ x∈(0;1)
t>4, log₂x>4. 4=log₂2⁴=log₂16
log₂x>log₂16
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 16}} \right.$⇒x∈(16;∞)
ответ: x∈(0;1)∪(16;∞)