Question

Дано уравнение 4^1+sinx−5⋅(√2)^1+2sinx+2=0 найти корни из отрезка [5π; 13π/2]

Answer 1

$4^{1+sinx}-5*(\sqrt{2})^{1+2sinx} +2=0$
$4*4^{sinx}-5 \sqrt{2}*( \sqrt{2} )^{2sinx}+2=0$
$4*2^{2sinx}-5 \sqrt{2} *2^{sinx}+2=0$
Замена 2^(sin x) = y; Так как sin x ∈ [-1; 1], то y ∈ [1/2; 2] при любом х
4y^2 - 5√2*y + 2 = 0
D = 25*2 - 4*4*2 = 50 - 32 = 18 = (3√2)^2
y1 = 2^(sin x) = (5√2 - 3√2)/8 = 2√2/8 = √2/4 = 2^(1/2 - 2) = 2^(-3/2)
sin x = -3/2 - решений нет
y2 = 2^(sin x) = (5√2 + 3√2)/8 = 8√2/8 = √2 = 2^(1/2)
sin x = 1/2
x1 = pi/6 + 2pi*k. На отрезке [5pi; 13pi/2] будет x = pi/6 + 6pi = 37pi/6
x2 = 5pi/6 + 2pi*k. На отрезке [5pi; 13pi/2] корней нет.
ответ: 37pi/6