Question

Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором неравенство не имеет решения.

Answer 1

$27^a*3^x+ \frac{27^a}{3^x} +9^a*9^x+ \frac{9^a}{9^x} -170*9^a \leq 0 \\ 9^a(9^x +\frac{1}{9^x}) +27^a(3^x+ \frac{1}{3^x})-170*9^a \leq 0 \\ 3^x+ \frac{1}{3^x} =t \geq 2 \\ 3^a=b\ \textgreater \ 0 \\ 9^x+ \frac{1}{9^x} =(3^x+ \frac{1}{3^x})^2-2=t^2-2 \\ b^2(t^2-2)+b^3t-170b^2 \leq 0 \\ b^2(t^2+bt-172) \leq 0 \\ t^2+bt-172 \leq 0$
Ветви параболы t²+bt-172 всегда направлены вверх, а дискриминант уравнения t²+bt-172=0 всегда положителен. 
Основное неравенство не будет иметь решения только тогда когда будут выполняться условия:
{f(2)=4+2b-172>0
{-b/2<2 
Решая систему получаем b≥84. Отсюда:
$3^a \ \textgreater \ 84 \\ \\ a \ \textgreater \ log_384$
Значит наименьшее подходящее натуральное значение a равно 5.
ответ а=5.