Question

Решить чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м^2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей

Answer 1

Для нахождения размеров канала, при которых смачиваемая площадь будет минимальной, мы должны использовать принцип оптимальности, а именно, найти значения, при которых производная площади смачивания будет равна нулю.

Давайте обозначим длину и ширину канала как x и y соответственно. Мы знаем, что площадь сечения канала равна 4,5 м^2, поэтому у нас есть уравнение:

xy = 4,5

Мы хотим минимизировать смачиваемую площадь, которая равна сумме площадей двух боковых стен и дна канала. Давайте обозначим смачиваемую площадь как S:

S = x + y + xy

Теперь мы можем взять производную смачиваемой площади по x и y и приравнять ее к нулю для нахождения оптимальных значений.

dS/dx = 1 + y = 0
dS/dy = 1 + x = 0

Решим эти уравнения:

1 + y = 0 ⟹ y = -1
1 + x = 0 ⟹ x = -1

Очевидно, что отрицательные значения не имеют физического смысла в данной задаче. Поэтому мы можем проигнорировать эти значения.

Следовательно, нет оптимальных значений, при которых площадь смачивания будет минимальной. Такой канал не существует.

Вывод: чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нам нужно выбрать другую форму канала, которая бы минимизировала площадь смачивания.