Question

Используя монотонность функции, решите уравнение: б)

Answer 1

$x^4-2x-2+\sqrt{-x}=1- \frac{1}{x} \\\ x^4-2x+\sqrt{-x}+ \frac{1}{x} =3$
ОДЗ: x<0, так как х встречается в знаменателе и (-х) встречается под корнем четной степени.
Рассмотрим на интервале х<0 функцию $y=x^4-2x+\sqrt{-x}+ \frac{1}{x}$. Каждая из функций $y_1=x^4$, $y_2=-2x$, $y_3= \sqrt{-x}$, $y_4= \frac{1}{x}$ является убывающей на интервале x<0, тогда и сумма этих функций будет убывающей. Монотонная функция если и достигает какого-либо значения, то достигает его только в одной точке. То есть, если заданное уравнение и имеет корень, то он будет единственный. Обычно начинают проверять числа 0 или 1, но здесь они не подходят по ОДЗ. Проверим число x=-1:
$(-1)^4-2\cdot(-1)+\sqrt{-(-1)}+ \frac{1}{-1} =3 \\\ 1+2+1-1 =3 \\\ 3=3$
Получаем верное равенство, значит единственный корень этого уравнения - число -1.
ответ: -1