4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
1) x(x - 2) < (x + 2)(x - 4) // Раскроем скобки x² - 2x < x² + 2x - 4x - 8 // Приведём подобные слагаемые в правой части x² - 2x < x² - 2x - 8 // Перенесём всё, что содержит множитель x, в левую часть x² - 2x - x² + 2x < -8 // Приведём подобные слагаемые в левой части 0 < -8 - Неверно. ответ: ∅ (пустое множество или нет корней).
2) 9x² - 12x < (3x - 2)² // Раскроем скобки в правой части 9x² - 12x < 9x² + 4 - 12x // Перенесём всё, что содержит множитель x, в левую часть 9x² - 12x - 9x² + 12x < 4 // Приведём подобные слагаемые в левой части 0 < 4 // Ноль всегда меньше 4, каким бы ни было значение x ответ: x∈(-∞;+∞). (при любом значении x выражение будет верно)
Неполным квадратным называется такое уравнение,в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего( либо второй, либо свободный член) равен нулю. В нашем уравнении: b= -(a-6); c=(a^2-9). Старший коэффициент "a" = (a+3). Он не должен равняться нулю ( при а=-3), т.к. уравнение уже не будет квадратным. Поэтому,а=-3 нас не устраивает. 1). b=0 a-6=0 a=6 2)c=0 a^2-9=0 a^2=9 a1=-3 ( нам не подходит этот вариант) a2=3 При а =3 уравнение выглядит так: 6x^2+3x=0 При а=6 уравнение выглядит так:9x^2+27=0 ответ: a=3; a=6
Так как решения для разных вариантов аналогичны, то даём ответ на вариант 1.
Даны вершины пирамиды:
А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(-1; 0; 1) и Д(-4; 6; 3).
Находим векторы из вершины А.
АВ(1; -1; -5), АС(-2; -3; -5), АД(-5; 3; -9).
1) Векторное произведение АВ х АС =
х у z x y 5x + 10y - 3z + 5y -15x - 2z =
1 -1 -5 1 -1 = -10x + 15y - 5x.
-2 -3 -5 -2 -3 АВ х АС = (-10; 15; -5).
Скалярное произведение (АВ х АС) * АД = 50 + 45 + 45 = 140.
Объём равен (1/6)*140 = 70/3.
2) 1) Векторное произведение АВ х АД =
х у z x y 9x + 25y + 3z + 9y + 15x - 5z =
1 -1 -5 1 -1 = 24x + 34y - 2z.
-5 3 -9 -5 3 АВ х АД = (24; 34; -2).
Модуль произведения равен √(576 + 1156 + 4) =√1736 = 2√434.
Площадь грани АВД = (1/2)*2√434 = √434 ≈ 20,83267.
3) cos(AC_AD) = (-2*-5 + -3*3 6 + -5*-9)/(√38*√115) = 46/√4370 =
= 0,695852.
Угол (AC_AD) = arc cos (46/√4370) = 45,90482°.
4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
5) Уравнение АВ: (x - 1)/1 = (y - 3)/-1 = (z - 6)/-5.
6) Угол между прямой AD и плоскостью АВС:
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n Скалярное произведение 125
s = {l; m; n} -5 2 -9 Модуль =√110 = 10,48808848.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
Ax + By + Cz + D = 0 -10 15 -5
Модуль равен 18,70828693
100 225 25 350
sin fi = 0,637058989
fi = 0,690676766 радиан = 39,57286369 градус