1) Составить уравнение плоскости,проходящей через точки A,B,C. Для составления уравнения плоскости используем формулу: | x - xA y - yA z - zA | |xB - xA yB - yA zB - zA | |xC - xA yC - yA zC - zA |= 0 Подставим данные и упростим выражение: |x - 0 y - 8 z - 0| |2 - 0 (-1) - 8 0 - 0| |3 - 0 0 - 8 1 - 0 |= 0
Без определителей надо решить систему из трёх уравнений: Уравнение плоскости: A · x + B · y + C · z + D = 0 . Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему: A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 , A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 , A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 . Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом: A · (0) + B · (8) + C · (0) + D = 0 , A · (2) + B · (-1) + C · (0) + D = 0 , A · (3) + B · (0) + C · (1) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости: - 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0 .
2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q. В общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0, вектор N→=(A;B;C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты N→=(−9;-2;11) Вспомним каноническое уравнение прямой (x−x0)/m=(y−y0)n= (z−z0)p(1), где координаты (x0;y0;z0) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М( 2; 1; -1). Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11.
3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz Уравнение прямой через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 в параметрическом виде (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=t. Выразим переменные через t: x = -9t + 2 y = -2t + 1 z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости: - 9(-9t + 2) - 2(-2t + 1) + 11(11t - 1) + 16 = 0 81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0 206t - 15 = 0 t = 15 / 206 = 0.072816. Координаты точки пересечения : x = -9t + 2 = 1.3446602 , y = -2t + 1 = 0.8543689, z = 11t - 1 = -0.199029.
Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями: точка пересечения прямой с плоскостью xOy; z=0, (x−2)/−9=(y-1)/-2=(0+1)/11=> (x−2)/−9=(y-1)/-2=1/11 запишем систему уравнений: (x−2)/−9 = 1/11 11х - 22 = -9 х = (22 - 9) / 11 = 13 / 11 = 1.181818.
