Выразим все через функции половинного аргумента (2-a)*2sin(x/2)cos(x/2) + (2a+1)(cos^2(x/2)-sin^2(x/2)) < 25sin^2(x/2)+25cos^2(x/2) (4-2a)sin(x/2)cos(x/2) + cos^{2}(x/2)(2a+1-25) + sin^{2}(x/2)(-2a-1-25) < 0 Делим все на cos^2(x/2) (4-2a)*tg(x/2) + (2a-24) + (-2a-26)*tg^2(x/2) < 0 Делим все на -2, при этом меняется знак неравенства (a+13)*tg^2(x/2) - (2-a)*tg(x/2) - (a-12) > 0 1) При а = -13 будет -(2 + 13) tg(x/2) - (-13 - 12) > 0 -15 tg(x/2) +25 > 0 15tg(x/2) < 25 tg(x/2) < 5/3 -pi/2 + pi*k < x/2 < arctg(5/3) + pi*k x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k)
2) При a=/= -13 будет квадратное неравенство относительно tg(x/2) Замена tg(x/2) = t (a+13)*t^2 - (2-a)*t - (a-12) > 0 D = b^2 - 4ac = (2-a)^2 - 4(a+13)(-(a-12)) = 4 - 4a + a^2 + 4(a^2+a-156) = = 5a^2 - 4*156 + 4 = 5a^2 - 620 = 5(a^2 - 124) = 5(a - √124)(a + √124) При D = 0, то есть при a = -√124 и при а = √124 слева будет полный квадрат, который больше 0 при любых t, кроме t = tg(x/2) =/= -b/(2a) = (2 - a)/(2a + 26) x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n 2 - √124 < 0, а 26 - 2√124 > 0, поэтому x22 < x21 x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n)
3) При D > 0, то есть при a < -√124 U a > √124 будет t1 = tg(x/2) = (2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26) x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m t2 = tg(x/2) = (2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26) x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m)
4) При D < 0, то есть при -√124 < a < √124 будет вот что. У уравнения слева корней нет, поэтому неравенство верно при любом t, то есть при всех x, при которых определен tg(x/2) x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
ответ: При а = -13 x1 ∈ (-pi + 2pi*k; 2arctg(5/3) + 2pi*k) При a = -√124 и при а = √124 x21 =/= 2arctg [(2 + √124)/(-2√124 + 26)] + 2pi*n x22 =/= 2arctg [(2 - √124)/(2√124 + 26)] + 2pi*n x2 ∈ (-pi + 2pi*n; x22) U (x22; x21) U (x21; pi + 2pi*n) При a < -13 U -13 < a < -√124 U a > √124 x31 = 2arctg [(2-a - √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x32 = 2arctg [(2-a + √(5a^2 - 620) ) / (2a + 26)] + 2pi*m x3 ∈ (-pi + 2pi*m; x31) U (x32; pi + 2pi*m) При -√124 < a < √124 x4 ∈ (-pi + 2pi*h; pi + 2pi*h)
x^2-2x-12+3x^2-6x-13=0 Произведем замену переменных. Пусть t=x^2-2x В результате замены переменных получаем вс уравнение. 3t-13+t^2-2t+1=0 Раскрываем скобки. 3t-13+t^2-2t+1=0 3t-13+1+t^2-2t=0 3t-12+t^2-2t=0 Приводим подобные члены. 1t-12+t^2=0 t-12+t^2=0 Изменяем порядок действий. t^2+t-12=0 Находим дискриминант. D=b^2-4ac=12-4•1-12=49 Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. t1,2=-b±D/2a t1=-1-72•1=-4 ;t2=-1+72•1=3 ответ вс уравнения: t=-4;t=3 . В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению x^2-2x=-4 ;x^2-2x=3 Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 . x^2-2x=-4 Перенесем все в левую часть. x^2-2x+4=0 Находим дискриминант. D=b^2-4ac=-22-4•1•4=-12 Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней. Итак,ответ этого случая: нет решений. Случай 2 . x^2-2x=3 Перенесем все в левую часть. x^2-2x-3=0 Находим дискриминант. D=b^2-4ac=-22-4•1-3=16 Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. x1,2=-b±D/2a x1=2-42•1=-1 ;x2=2+42•1=3 Итак,ответ этого случая: x=-1;x=3 . Окончательный ответ: x=-1;x=3 .
Разложим на множители сумму кубов по формуле:
a³+b³=(a+b)·(a²-ab+b²) .
326³+74³=(326+74)·(326²-326·74+74²)=400·(326²-326·74+74²)
Так ка в разложении получили множитель 400, то произведение, а значит и само число делится на 400.