Question

Три числа,сумма которых равна 13, образует прогрессию.если ко второму числу прибавить 2,то полученные числа составят арифметическую прогрессию.найти эти числа

Answer 1

$b_1, b_2, b_3$ -  геометрическая прогрессия
$b_1, b_2+2, b_3-$ арифметическая прогрессия
$b_1+b_2+b_3=13$

Воспользуемся свойствами арифметической и геометрической прогрессии:
$b_n= \frac{b_{n-1}+b_{n+1}}{2} , n\ \textgreater \ 1$
$b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_1+b_2+b_3=13}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{2b_2+4= {b_1+b_3}{} \atop {2b_2+4+b_2=13}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{2b_2+4= {b_1+b_3}{} \atop {3b_2=9}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{{b_2=3} \atop {2b_2+4= {b_1+b_3}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{{b_2=3} \atop {2*3+4= {b_1+b_3}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{{b_2=3} \atop { {b_1+b_3=10}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{{b_2=3} \atop { {b_1=10-b_3}}} \atop {3^2=(10-b_3)*b_3}} \right.$
$3^2=(10-b_3)*b_3$
$b_3^2-10b_3+9=0$
$D=(-10)^2-4*1*9=64$
$b_3= \frac{10+8}{2}=9$
$b_3'= \frac{10-8}{2}=1$

$b_1=10-b_3=10-9=1$
$b_1'=10-b_3'=10-1=9$

$b_1=1,$   $b_2=3,$   $b_3=9$
$b_1'=9,$   $b_2'=3,$   $b_3'=1$