Question

Найти общие решения уравнений: y" + y'-6у = 0; y" +6y'-9у = 0; y" +2y'-5у = 0

Answer 1

В этих уравнениях присутствует такая замена:
$y=e^{kx}$

$y''+y'-6y=0$
$e^{kx}(k^2+k-6)=0$
$(k-2)(k+3)=0$
$k_1=2;k_2=-3$
$Y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$

$y''+6y'-9=0$
$k^2+6k-9=0$
$D=6^2-4*-9=72$
$k_1= \frac{-6+6 \sqrt{2} }{2} =-3+3 \sqrt{2}$
$k_2=-3-3 \sqrt{2}$
$Y=C_1e^{(-3+3 \sqrt{2})x}+C_2e^{(-3-3 \sqrt{2})x}$

$y''+2y'-5y=0$
$k^2+2k-5=0$
$D=2^2-4*-5=24$
$k_1=\frac{-2+2 \sqrt{6} }{2}=-1+ \sqrt{6}$
$k_2=-1- \sqrt{6}$
$Y=C_1e^{(-1+ \sqrt{6})x}+C_2e^{(-1- \sqrt{6})x}$