Question

Решите уравнение (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)=60 в ответе укажите произведение всех корней уравнения полное решение

Answer 1

(x-2)(x-1)(x+2)(x+3) = 60

(x-2)(x+3)·(x-1)(x+2) = 60

(x²-2x+3x-6)(x²-x+2x-2) = 60

(x²+x-6)(x²+x-2) = 60

Пусть a = x²+x-2, тогда уравнение примет вид: (a-4)·a = 60.

a²-4a-60 = 0  |:4

$\displaystyle \frac{a^2}4 -a-15=0\\ D=(-1)^2-4\cdot \frac14 \cdot (-15) =1+15=4^2\\ a=\frac{-(-1)\pm \sqrt{4^2}}{2\cdot \frac14 } =\frac{1\pm 4}{1/2} =2\pm 8=\{-6;10\}$

Проведём обратную замену:

$\begin{bmatrix}\displaystyle x^2+x-2=-6\\ \displaystyle x^2+x-2=10\end{matrix} \\ \\ \begin{bmatrix}\displaystyle x^2+x+4=0;\; \; D\! =\! 1^2\! -\! 4\! \cdot \! 1\! \cdot \! 4\! =\! 1\! -\! 16\! =\! -15\!$

$\begin{bmatrix}\displaystyle x\in \varnothing \qquad \\\displaystyle x=\frac{-1\pm 7}2 \end{matrix} \qquad \begin{bmatrix}\displaystyle x=\frac{-8}2 \\ \\ \displaystyle x=\frac62 \; \; \end{matrix} \\ \\ \begin{bmatrix}\displaystyle x=-4\\ \displaystyle x=3\; \; \end{matrix} ;\qquad -4\cdot 3=-12$

ответ: -12.